Author: Colopen 彩色铅笔
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last publication: 2021-12-11 18:00

无条件极值

无条件极值属于多元函数极值中，较为简单的一类问题，其解决的问题描述一般是：
$$
\text{给定一个多元函数 } z=f(x,y)\text{，求解他在实数域上的极值}
$$
解决该类问题的思路也很简单，直接沿用我们在 一元函数 中的手段：通过驻点找 极值点

用 $z$ 对 $x,y$ 分别求偏导，然后令 一阶偏导数 为零，找出驻点

如何判断驻点是否是 极值点 ？常用手段是 黑塞矩阵（Hessian Matrix）判别式

他是用于研究函数在一点处曲率的变化而存在的（就像一元函数求二阶导数的行为，本质相同）

黑塞矩阵判别式： $\begin{vmatrix}f_{xx} & f_{xy} \\f_{yx} & f_{yy}\end{vmatrix} \xlongequal{?} 0$

若 黑塞矩阵判别式 ：

大于 $0$，则该驻点是极值点
1. 若 $f_{xx} > 0$ 则为极小值点
2. 若 $f_{xx} < 0$ 则为极大值点
小于 $0$，则该驻点不是极值点
等于 $0$，则 判别式失效

当 判别式失效 时，我们可以利用 极值的定义，然后通过一个 二元极限 判断该点是否是极值点
1. 如果找到两条路径，一条路径极限大于该点值，一条路径极限小于该点值，则非 极值点
2. 如果 去心邻域 内的值都大于或小于该驻点的值，则该驻点为极值点

关于 无条件极值，各大辅导书上步骤都有详细讲解，故这里就不准备例题了，只帮助大家理清思路

条件极值

条件极值 是考研中常考的，方法超固定，计算超复杂的一类问题

条件极值 围绕着 目标函数、约束条件 两个关键字展开

求解的是 目标函数 在 约束条件 下的极值问题

其问题描述一般为：
$$
\text{已知函数 }z = f(x,y) \text{，求解 }z \text{ 在约束条件 } D = \{(x,y)|g(x,y)=0\}\text{ 下的最值}
$$
通法是 拉格朗日数乘法：是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法

构造如下方程组：

$$
L(x,y,\lambda) = f(x,y) + \lambda g(x,y) \xlongequal{\text{令}} 0
$$

$$
\begin{cases}
L_x = f_x(x,y) + \lambda g_x(x,y) \xlongequal{\text{令}} 0
\\
L_y = f_y(x,y) + \lambda g_y(x,y) \xlongequal{\text{令}} 0
\\
L_\lambda = g_x(x,y) \xlongequal{\text{令}} 0
\end{cases}
$$

然后解该方程组，便可以得到 目标函数 在 约束条件 下的 极值点

然后比较几个 极值点，选出 最大最小值 即可

不过 条件极值 难，从来都不是难在做法上，而是构造的 拉格朗日数乘法方程 难解

接下来的内容，将会围绕优化解方程出发，分享几个我常用的方法

利用轮换对称式化简拉格朗日乘子

在下方的 利用齐次式化简拉格朗日乘子 中介绍过：（这个专题我是从下往上写的 w）

拉格朗日函数 是一个 多项式函数，可以利用很多 多项式的特性 对计算进行化简

而本篇中，提到的方法便是 轮换对称式

二元轮换对称式 的定义：

对于一个二元多项式 $f(x,y)$，如果用 $x$ 代替 $y$，用 $y$ 代替 $x$，后 代数式 保持不变，则称 $f(x,y)$ 具有 轮换对称性

上述定义可以扩充到 $n$ 元，此外 二元轮换对称式 也是一个 完全对称式

轮换对称性用简单一个点的话来说就是，如果交换 $x,y$ 后，$f(x,y)$ 保持不变

对于具有 轮换对称性 的函数，一定有解 $y = x$

因此我们不妨直接让 $L_x - L_y$ 然后提出 $(y-x)$ 的因式

然后分类讨论两个因式分别为 $0$ 的解

【例】设计一个容积为 $V$ 的长方体开口水箱，长宽高分别为多少时最节省材料

【解】根据题意可得 目标函数: $S = 2xz + 2zy + xy$，约束条件 $V = xyz$

构造拉格朗日函数：$L = 2xz + 2zy + xy + \lambda (xyz - V)$

显然 $x,y$ 具有轮换对称性

$$
\begin{cases}
L_x = 2z + y + \lambda yz \xlongequal{\text{令}} 0 \\
L_y = 2z + x + \lambda xz \xlongequal{\text{令}} 0 \\
L_z = 2x + 2y + \lambda xy \xlongequal{\text{令}} 0 \\
L_\lambda = xyz \xlongequal{\text{令}} V
\end{cases}
$$

利用轮换对称性，让 $L_x - L_y$ 得：

$$
\begin{aligned}
(y-x) + \lambda z(y - x) &= 0 \\
(y-x) \cdot (1 + \lambda z) &= 0 \\
\end{aligned}
$$

(1) $x = y$ 时：$L_z: 4x + \lambda x^2 = 0 \Rightarrow x(4 + \lambda x) = 0 \Rightarrow \lambda = -\dfrac{4}{x}$

$L_\lambda : z = \dfrac{V}{x^2}$，$L_x : \dfrac{2V}{x^2} + x - 4 \cdot \dfrac{V}{x^2} = 0 \Rightarrow x^3 = 2V \Rightarrow x = \sqrt[3]{2V}$

故 $\begin{cases}
x = \sqrt[3]{2V} \\
y = \sqrt[3]{2V} \\
z = \dfrac{\sqrt[3]{V}}{2^{\frac{2}{3}}}
\end{cases}$

(2) $1 + \lambda z = 0$ 时：$L_x : -\dfrac{2}{\lambda} + y - y = 0 \Rightarrow \dfrac{2}{\lambda} = 0$ 无解

由于题目保证一定有解，故最小值解为：$\begin{cases}
x = \sqrt[3]{2V} \\
y = \sqrt[3]{2V} \\
z = \dfrac{\sqrt[3]{V}}{2^{\frac{2}{3}}}
\end{cases}$

2013年超难解的多元极值问题，就可以利用本技巧化简运算，读者可以去试一下

三角换元法

这个方法很简单，本质就是沿用了大家在 二重积分 里常用的 极直互化 技巧

考虑按照 约束条件 的形式，将 直角坐标 转化成 极坐标 形式

这样就从原来的 $f(x,y)$ 极值问题，转化为 $f(r,\theta)$ 极值问题

由于是基于 约束条件 转换的坐标，转化过来后 $r,\theta$ 是带着 约束条件 的 取值范围限制

故 $f(r,\theta)$ 最后可以通过 三角恒等变形 化成一个 $ar\sin(\theta + \varphi)$ 的形式

然后就可以根据 $r$ 范围直接写出 $f$ 的 取值范围

【例】$4x^2+y^2 \le 25$，求 $L = x^2 + 12xy + 2y^2$ 的取值范围

【解】根据 约束条件 的形式，进行 极直互化

不妨令 $2x = r\cos \theta$，$y = r\sin \theta$，则 $r^2 \le 25 \Rightarrow (0 \le r \le 5$，$0 \le \theta \le 2\pi)$

对 目标函数 转 极坐标：

$$
\begin{aligned}
L
&=
x^2 + 12xy + 2y^2
\\
&=
\dfrac{r^2}{4}\cos^2\theta + 6r^2\sin\theta\cos\theta + 2r^2\sin^2\theta
\\
&=
\dfrac{r^2}{4} \cdot \dfrac{1+\cos 2\theta}{2} + 3r^2\sin 2\theta + 2r^2\cdot \dfrac{1-\cos 2\theta}{2}
\\
&=
\dfrac{r^2}{8} + \dfrac{r^2}{8}\cos 2\theta + 3r^2\sin 2\theta + r^2 - r^2\cos 2\theta
\\
&=
\dfrac{r^2}{8} \cdot \bigg({
9 + 24\sin 2\theta - 7\cos 2\theta
}\bigg)
\\
&=
\dfrac{r^2}{8} \cdot \bigg({
9 + \sqrt{24^2 + 7^2} \sin(2\theta + \varphi)
}\bigg)
\\
&=
\dfrac{r^2}{8} \cdot \bigg({
9 + 25 \sin(2\theta + \varphi)
}\bigg)
\\
\end{aligned}
$$

由于 $\theta \in [0, 2\pi], r \in [0, 5]$，故 $f(r,\theta)\in [-50, \dfrac{425}{4}]$

该方法同样适用于 三个变量平方和的等式 下

由于是等式，故可以选择两个变量建立极坐标，让第三个变量代替 $r$ 作为参数限制

如下面这题

【例】$x^2+y^2+z^2=10$，求 $L = xy + 2yz$ 的取值范围

【解】对 $L$ 进行变形：$L = y \cdot (x + 2z)$，考虑围绕 $x,z$ 建立极坐标

对约束条件进行恒等变形：$x^2 + z^2 = 10 - y^2$

建立极坐标：$x = \sqrt{10 - y^2} \cos \theta, z = \sqrt{10 - y^2} \sin \theta$

易得 $-\sqrt{10} \le y < \sqrt{10}$，$0 \le \theta \le 2\pi$

对目标函数进行换元：

$$
\begin{aligned}
L &=
y \cdot \bigg({
\sqrt{10 - y^2} \cos\theta + 2\sqrt{10 - y^2}\sin\theta
}\bigg)
\\
&=
y \sqrt{10 - y^2} \cdot
\sqrt{5} \sin (\theta + \varphi)
\\
\end{aligned}
$$

根据 $y\in[-\sqrt{10},\sqrt{10}]$，有 $y\sqrt{10-y^2} \in [-5, 5]$ （读者自证不难）

而 $\sqrt{5} \sin (\theta + \varphi) \in [-\sqrt{5}, \sqrt{5}]$

故 $L = y \sqrt{10 - y^2} \cdot \sqrt{5} \sin (\theta + \varphi) \in [-5\sqrt{5}, 5\sqrt{5}]$

利用齐次式化简拉格朗日乘子

部分参考自 @考研竞赛凯哥，及其他参考文献

这一部分，有一些数学知识作为前置铺垫，不过最后得出来的结论相当简单

如果没有想要了解的想法，只是以考试为主要目的的同学，可以直接往下滑

解 多元函数条件极值 问题时，需要用到 拉格朗日乘数法 构造 拉格朗日函数

$$
L(x_1,x_2,x_2,\lambda) = f(x_1,x_2,x_3) + \lambda [g(x_1,x_2,x_3) - m]
$$

其中 $\lambda$ 为参数

由于 $\lambda$ 是作为参数存在的，故研究 拉格朗日函数 实际上是在研究一个 多项式函数

而当研究对象转换到 多项式函数 后，就可以用到很多 特殊多项式函数 的性质

例如，本篇中会介绍的 齐次函数（如果该次数是二次型，推荐用下一个二次型解法）

k 次式的齐次函数 的定义为：$f(\lambda x_1,\lambda x_2,\cdots,\lambda x_n) = \lambda^kf(x_1,x_2,\cdots,x_n)$

对于 $k$ 次 齐次函数 ，有 齐次函数 的 欧拉定理：

$$
x_1\dfrac{\partial f}{\partial x_1} + x_2\dfrac{\partial f}{\partial x_2} + \cdots + x_n\dfrac{\partial f}{\partial x_n} = k f(x_1,x_2,\cdots,x_n)
$$

简单证明：

对于 $k$ 次齐次函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，对定义式两边求全微分：

$$
\dfrac{d}{d\lambda} f(\lambda x_1,\lambda x_2,\cdots,\lambda x_n) = \sum_{i=1}^n \dfrac{\partial f}{\partial(\lambda x_i)} \cdot \dfrac{d(\lambda x_i)}{d\lambda} = \sum_{i=1}^n x_i \dfrac{\partial f}{\partial(\lambda x_i)}
$$

$$
\dfrac{d}{d\lambda} \lambda^k f(x_1,x_2,\cdots,x_n) = k\lambda^{k-1}f(x_1,x_2,\cdots,x_n)
$$

通过这个 算两次 的思想，由于两个 全微分 必相等，于是：

$$
\sum_{i=1}^n x_i \dfrac{\partial f}{\partial(\lambda x_i)} =
k\lambda^{k-1}f(x_1,x_2,\cdots,x_n)
$$

取 $\lambda = 1$，得：

$$
\sum_{i=1}^n x_i \dfrac{\partial f}{\partial(\lambda x_i)} =
kf(x_1,x_2,\cdots,x_n) \qquad QED
$$

回到 多元函数条件极值 问题上来

若目标函数 $f$ 和约束条件 $g = m$ 满足 $f$ 和 $g$ 是 $k$ 次多项式，那么 $F = f + \lambda g$ 也是 $k$ 次多项式。

对于 拉格朗日乘子 $L = f + \lambda(g-m)$，$L_x = 0, L_y = 0$

可以考虑 $xL_x + yL_y = 0$，即 $xF_x + yF_y = 0$（常数 $m$ 求偏导后被干掉了）

根据 欧拉定理，$kF = 0$，再根据条件 $g = m$，$kF = 0$ 可以进一步化简为 $f = -\lambda m$

因此考虑 $f$ 的最值问题，就化为考虑 $-\lambda m$ 的最值问题

理论铺垫多说无益，我们直接来一道实战题目进行讲解

题选自李林预测卷，我是在群里找来的到的

【例】求中心在坐标原点的椭圆 $x^2 - 4xy + 5y^2 = 1$ 的长半轴和短半轴长度

【解】椭圆长/短半轴长度就是椭圆上离中心点最远/近的距离长度

故可以目标函数就是 $\sqrt{x^2 + y^2}$，但为了化简计算，不妨设目标函数为 $x^2 + y^2$

构造拉格朗日乘数法：$L(x,y,\lambda) = x^2 + y^2 + \lambda(x^2 - 4xy + 5y^2 - 1)$

$$
\begin{cases}
L_x = 2x + 2\lambda x - 4\lambda y \xlongequal{\text{令}} 0
\\
L_y = 2y + 10\lambda y - 4\lambda x \xlongequal{\text{令}} 0
\\
L_\lambda = x^2 - 4xy + 5y^2 - 1 \xlongequal{\text{令}} 0
\end{cases}
$$

考虑使用齐次型化简转化研究对象，让 $xL_x + yL_y$：

$$
2(x^2 + y^2) + 2\lambda (x^2 - 4xy + 5y^2) = 0
$$

由于已知约束条件 $x^2 - 4xy + 5y^2 = 1$，故直接代入上式得：

$$
x^2 + y^2 = -\lambda
$$

求 $x^2 + y^2$最值的问题，成功转化为求 $-\lambda$ 最值的问题了

由于 $(x,y) \ne (0,0)$ 否则肯定不满足第三个方程 $L_\lambda(0,0) = -1 \ne 0$

故一、二两个方程 $L_x$ 和 $L_y$ 一定含有 非零解，故他们的 系数矩阵行列式 = $0$：

$$
\begin{vmatrix}
2+2\lambda & -4\lambda \\
-4\lambda & 2 + 10\lambda
\end{vmatrix} = 4\lambda^2 + 24\lambda + 4 = 0 \quad\Rightarrow\quad \lambda = -3 \pm 2\sqrt{2}
$$

由此可知 $x^2 + y^2$ 的最大值为 $3 + 2\sqrt{2}$，最小值为 $3 - 2\sqrt{2}$

对应到 $d = \sqrt{x^2 + y^2}$，$d_{min} = \sqrt{2} - 1$，$d_{max} = \sqrt{2} + 1$

利用二次型求解

根据 线性代数 知识我们知道，二次型 化成 标准型，可以通过 正交变换 实现

而 正交变换 有一个非常好的性质：保向量模长相等

这样就能利用该性质，把原有的 约束条件，运用到新坐标下，产生新的 约束条件

适用的题型要求：

目标函数 $f(x_1,x_2,x_3)$ 是二次型
约束条件 $g$ 只含有平方项，形如 $x_1^2+x_2^2+x_3^2 = m$

这样，我们最终要找的 目标函数 最值，就分别是该 二次型矩阵 的 最大最小特征值

上述为直接结论，我会在下面这道例题中详细讲解原理

【例】求 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+3x_3^2-2x_1x_2$ 在约束条件 $x_1^2+x_2^2+x_3^2=1$ 上的最值

【解】目标函数 是 二次型，且 约束条件 为 平方和，考虑使用 二次型 计算

令 二次型 $f$ 对应的矩阵 $A = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 \\
-1& 1 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{pmatrix}$

求出 $A$ 的 特征值，令 $|A - \lambda E| =0$

$$
\begin{vmatrix}
1-\lambda & -1 & 0 \\
-1& 1-\lambda & 0 \\
0 & 0 & 3-\lambda
\end{vmatrix} = - (\lambda - 3) \cdot \lambda \cdot (\lambda - 2)
$$

故可得特征值：$\lambda_1 = 0, \lambda_2 = 2, \lambda_3 = 3$

$\lambda = 0$ 时：$(A - 0 \cdot E) \rightarrow \begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad \xi_1 = \begin{pmatrix}
1\\
1\\
0
\end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad e_1 = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}
1\\
1\\
0
\end{pmatrix}$

$\lambda = 2$ 时：$(A - 2 \cdot E) \rightarrow \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad \xi_2 = \begin{pmatrix}
-1\\
1\\
0
\end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad e_1 = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}
-1\\
1\\
0
\end{pmatrix}$

$\lambda = 3$ 时：$(A - 3 \cdot E) \rightarrow \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad \xi_3 = \begin{pmatrix}
0\\
0\\
1
\end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad e_3 = \begin{pmatrix}
0\\
0\\
1
\end{pmatrix}$

故存在 正交矩阵 $Q = (e_1,e_2,e_3), s.t. Q^TAQ = \Lambda = \begin{pmatrix}
0 & & \\
& 2 & \\
& & 3
\end{pmatrix}$

故存在 正交变换 $x = Q y, s.t. f(y_1,y_2,y_3) = 2y_2^2 + 3y_3^2$

由于 正交变换 是保向量模长的，故 $||x|| = ||y|| \Rightarrow y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 1$

故原命题就等价于：目标函数：$f(y_1,y_2,y_3) = 2y_2^2 + 3y_3^2$ 在 约束条件：$y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 = 1$ 下的最值问题

因此，$f$ 的最大值就是把全部模长分给系数最大的分量，最小值就是分给系数最小的分量

即我在开头说过的，最大最小特征值

故 $f_{min} = 0, f_{max} = 3$

利用常见不等式求解

这里不会使用额外其他的不等式，我只介绍考研中常用的 均值不等式 和 柯西不等式

柯西不等式：

$$
(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2) \times (b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2) \ge (a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2
$$

当且仅当 $\dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2} = \dots = \dfrac{a_n}{b_n}$ 时，等号成立

均值不等式：

$$
\dfrac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}{n} \ge \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdots a_n}
$$

当且仅当 $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$ 时，等号成立

柯西不等式 建立的是 多项平方和 $\ge$ 多项和 的不等式

均值不等式 建立的是 多项平方和 $\ge$ 多项积 的不等式

一个是 平方和 到和，一个是 平方和 到积，这是我们考虑使用不等式时，首先要考虑的问题

【2018年19题】将 $2m$ 的铁丝分成三段，依次围城圆、正方形、正三角形。三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。

【解】令铁丝分给三个图形的长度分别为 $a ,b, c$，则 $a + b + c = 2$

通过已知周长分别计算出三个图形的面积，应为：$\dfrac{a^2}{4\pi}, \dfrac{b^2}{16}, \dfrac{c^2}{12\sqrt{3}}$

故 $S = \dfrac{a^2}{4\pi}+ \dfrac{b^2}{16}+ \dfrac{c^2}{12\sqrt{3}}$

原命题就等价于，目标函数 为 $S(a,b,c)$，在 约束条件 $a + b + c = 2$ 下的最小值

目标函数是 多项平方和，约束条件是 多项和，考虑选用 柯西不等式 放缩

构造柯西不等式：

$$
\begin{aligned}
\bigg[(\dfrac{a}{2\sqrt{\pi}})^2 + (\dfrac{b}{4})^2 + (\dfrac{c}{\sqrt{12\sqrt{3}}})^2\bigg] \cdot \bigg[(2\sqrt{\pi})^2 + 4^2 + (\sqrt{12\sqrt{3}})^2\bigg] &\ge (a + b + c)^2 \\
S \cdot \bigg[4\pi + 16 + 12\sqrt{3}\bigg] &\ge 4
\\
\dfrac{4}{4\pi + 16 + 12\sqrt{3}} &\le S
\\
\dfrac{1}{\pi + 4 + 3\sqrt{3}} &\le S
\end{aligned}
$$

故 $S_{min} = \dfrac{1}{\pi + 4 + 3\sqrt{3}}$，当且仅当 $\dfrac{a}{4\pi} = \dfrac{b}{16} = \dfrac{c}{12\sqrt{3}}$ 时等号成立

【2021年数一】设 $x,y,z$，满足 $\begin{cases}
x^2 + 2y^2-z = 6 \\
4x + 2y + z = 30
\end{cases}$，求 $z$ 的取值范围

【解】目标函数 $z$，约束条件 $\begin{cases}
x^2 + 2y^2 = z + 6 \\
4x + 2y = 30 - z
\end{cases}$

(1) 式左侧是 多项平方和，(2) 式左侧式 多项和 考虑 柯西不等式 放缩

构造 柯西不等式：

$$
\begin{aligned}
(x^2 + (\sqrt{2} y)^2) \cdot (4^2 + (\sqrt{2})^2) &\ge (4x + 2y)^2
\\
(z + 6) \cdot 18 &\ge (30 - z)^2
\\
z^2 - 78z + 792 &\le 0
\\
(z - 12)(z - 66) &\le 0
\\
\end{aligned}
$$

故 $z\in[12, 66]$