张八小题不错，大题不评价，大家可以评论区分享一下观点

卷一

选择题

  1. 利用函数的性质的定义去做就好了，他是一个偶函数，不是奇函数
  2. 连续/可导，两个方程两个未知数
  3. 千万不要去解微分方程，考虑利用极值定义去算即可，他都说了 $x_0$ 是驻点了
  4. 分母是立方差的因式，考虑换元立方差，然后利用等比级数展开即可
  5. 隐函数求偏导
  6. 全微分，利用二阶偏导数连续的性质 $f_{xy}=f_{yx}$
  7. 二重积分换序
  8. 利用按列展开的定义，构造新的行列式，再计算该行列式
  9. 没看懂答案要干嘛，我说一下我的想法，$A^m = 0$ 易知 $A$ 只有唯一特征值 $0$，故 $tr(A) = 0$
    这一步并没有用相似理论（A也不能相似对角化），用的是秩一矩阵的性质
  10. $A$ 可以对角化，故 $r(A-2E)=1$

填空题

  1. 求导，分段点导数定义
  2. 求导，按照拐点定义令为 0
  3. 不定积分，老朋友了，按照立方和公式展开，然后添项减项再拆，再凑微分
  4. 链式求导法则
  5. 同解问题，三种方法，我用的是求一个代一个
  6. 送分题

解答题

  1. 定积分定义
  2. 没搞出来，做的时候读假题了，题目转的是切线和曲线围成的部分，以为是多元条件极值，直接莽上去了
    答案给的方法非常巧妙。欲求围成的面积最小，又因为切线在曲线下方，曲线又是恒定的
    故等价于让切线扣掉的体积尽可能大，这样就转化了研究对象，题目难度大大化简
  3. 物理应用，秒杀难度，计算量也不大
  4. 多元函数链式求导，也不难
  5. 这题的微分方程还是比较复杂的，是二阶变系数，既可以当做少 $x$ 的第一型做，也可以当作少 $y$ 的第二型做
    复杂在他算的每一步都不太像是正确答案
  6. 李林卷出过一道原题，不过李林那个没出好，直接令就能令出来
    张宇这里就要老老实实做了，不过他引导了第一第二问，又把难度给降下来了，只能说二位出题人平分秋色吧
    （不会出题可以不出的呀）

卷二

选择题

  1. 极值和拐点的定义
  2. 常见分段函数，分段讨论即可
  3. 含参数不等式，把参数单独放到不等式一边，研究另一侧函数性态
  4. 答案很复杂，说说我的做法，不难看出高阶导数相邻阶存在递推关系，利用递推关系建立等差数列递推即可
  5. 李林六套卷出过类似的，把定积分设为常数，放到另一遍，然后两侧积分
  6. 多元函数线性变换的链式求导问题，模拟题意即可
  7. 利用通解还原齐次微分方程，从特征方程出发，乘开即可
  8. 求行列式问题，行和相等，全部加到第一列即可；也可以处理成爪型行列式做
  9. 送分题
  10. 送分题

填空题

  1. 极限小题，被积函数等价无穷小解定积分，也可以洛必达
  2. 拆成两部分来看，右边用求导后奇偶互换来做
  3. 被积函数含 $x$ 考虑还原，然后就很简单了
  4. 对着答案算还会错的题目，出得不行（大汉黄豆）
  5. $\Lambda^2 \rightarrow \Lambda$ 的过程，李林考过，屑题计算量

解答题

  1. 极限小题
  2. 定积分，比较常规，上来可以用 $\sin x$ 关于 $x = \dfrac{\pi}{2}$ 对称，直接削掉一半积分限
    室友这一步用的换元，换元换到关于 $x=0$ 的对称区域上，这也是不错的思路
    然后就可以把 $\sin x$ 换元成 $u$ 解一个有理函数定积分，根式换元后，可以凑微分分部积分（最快）
    也可以三角换元
  3. 关于 $y=-x$ 对称的两个变量必有 $x+y=0$ 的解，简单的多元极值问题
  4. 第一问凑微分，第二问原函数比较难找，这里用万能构造法要寄，需要按照 $g(x)$ 的标准找原函数
    考虑乘以他的分母搞出来
  5. 二重积分，极直互化，然后轮换对称性削掉一部分，积分另一部分即可
  6. 答案的构造想不到也看不懂，说一下我的做法，用到了很多秩一矩阵的性质
    若 $A = \alpha\alpha^T$，则有 $A^n = tr(A)^{n-1}A = (\alpha^T\alpha)^{n-1}A = A$
    $A^n = A$ 在数学上称为幂等矩阵。$1-x^{n+1} = (1-x)(1+x+\cdots+x^n)$
    然后这题给的等式，刚好可以按照幂差还原：$AB-B=A-E$
    然后就有了两个方程：$\begin{cases}
    AB = (n+1)A\\
    B = E + nA
    \end{cases}$，目的是凑出 $B C = E$ 的形式
    考虑一式方程两侧乘以$\dfrac{(n+1)}{n}$，有 $\dfrac{n+1}{n}AB = nA$ 然后和二式相减：$(E - \dfrac{n}{n+1}A)B = E$
    于是 $B$ 可逆和 $B$ 的逆矩阵就都有了
    第二问，就是转化研究对象：$|B-3E| = |nA-2E|$ 再利用相似对角化理论搞出来
    （$tr(A)\ne0$，则 $A$ 一定相似，这是秩一矩阵性质，读者自证不难）

卷三

选择题

  1. 选择题，洛一洛更快（虽然是错的做法）
  2. 简单题，比较在瑕点的阶
  3. 用罗尔原话转换研究对象
  4. 考的是一个泰勒展开，最后化为求极限
  5. 选项有问题呀，选A为什么不可以选B？
    做法肯定是先分布积分，利用二阶导数小于零提供的单调性来判正负
  6. 可微定义式
  7. 对称性消掉一个，再做一个二重积分
  8. 做一个可逆变换，利用合同变换和惯性定理出结论
  9. 简单题
  10. 简单题

填空题

  1. 没法用齐次解直接求出，考虑设出微分方程，然后把三个解代入求参
  2. 洛必达求极限，隐函数求导
  3. 隐函数求导
  4. 多元函数求偏积分
  5. 上一套和过关版都出过，利用变上限积分凑微分
  6. 实对称阵不同特征值的特征向量正交

解答题

  1. 幂指函数求极限
  2. 方程两侧不停求导代入
  3. 多元函数极限，惭愧，做这一题之前，我甚至不知道椭圆面积是 $a^2b^2$
    目标函数是多项积，约束条件是多项平方和，可以凑均值不等式放缩，避免拉格朗日数乘法
    $$
    a^2b^2 = a^2 + b^4 = \dfrac{1}{2}a^2 + \dfrac{1}{2}a^2 + b^4 \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{2}a^2b^2}
    $$
  4. 二重积分，极直互化
  5. 微分方程部分很简单，求面积极值就比较痛苦
  6. 常规题，不等式那一问用正交变换转换研究对象

卷四

选择题

  1. 幂指函数求极限
  2. 罗尔定理的应用
  3. 用一下区间再现后积分再现
  4. 瑕点处的阶
  5. 比较综合的一道题，连续性后导数定义
  6. 积不出来的，实际考的是积分比大小
  7. 二重积分换序
  8. 左乘列满秩，右乘行满秩不改变矩阵的秩
    第二个命题直接反例 $s = 1$
  9. 凑特征值定义的题
  10. 利用基础解系反向构造系数矩阵

填空题

  1. 极限，倒代换
  2. 参数方程求导
  3. 区间再现
  4. 高阶导数，注意不是一点处的高阶导数，需要推导，不能直接展开
  5. 偏积分，多元函数求偏导
  6. 已知特征值反向构造问题，步骤里有一些窍门，可以完全避免求逆，运算超快，不太容易文字讲解，是一个凯哥讲过的方法

解答题

  1. 多元函数极值，可以用齐次性化简
  2. 分离参数，求单调性问题
  3. 定积分几何应用，不难
  4. 中值可分离性问题，可以用柯西中值定理，第二问简单的求极限
  5. 二重积分，简单的割补法
  6. 真题考过了，简单题

卷五

选择题

  1. 瑕点比阶
  2. 求极限
  3. 积分比大小，上下限相同，可以比较被积函数大小，做差
  4. 分离参数，求导绘制函数图像
  5. 减号处拆开，泰勒展开
  6. 洛必达
  7. 变上限积分的被积函数不连续，则变上限积分在这一点不可导
  8. 右乘行满秩矩阵，不改变自身的秩
  9. 凑特征值与特征向量的定义
  10. 相似的必要条件，以及合同对角化问题

填空题

  1. 隐函数，参数方程，求导
  2. 变量可分离型微分方程
  3. 注意是求面积，不是求周长 $S = \frac{1}{2}\theta r^2$
  4. 可微定义
  5. 二重积分，对称性化简积分区间，然后换序
  6. 按列展开定理反向构造行列式

解答题

  1. 李林出过，幂指函数求极限取指对数，然后定积分定义
  2. 李林出过，分区间拆开，求导后利用偶函数性质化简
  3. 李林出过，表达式可以用辅助角公式化简，这样第二问可以直接点火公式
  4. 多元函数偏导变换问题，俗称模拟题
  5. 二重积分，可以逆用形心坐标公式化简计算 $y$ 的部分
  6. 利用相似的传递性，转换研究对象，简单题

卷六

选择题

  1. 简单题
  2. 常用的有限项放缩法
  3. 求导判断单调性，绘制大致函数图像
  4. 简单题
  5. 简单题
  6. 求偏导，换元，解微分方程
  7. 积分比大小，直接比较被积函数即可，做差法
  8. 矩阵等价：有限次初等行列变换；
    矩阵相似：$\exists$ 可逆矩阵 $Q$, s.t. $Q^{-1}AQ = B$
    矩阵合同：$\exists$ 可逆矩阵 $Q$, s.t. $Q^{T}AQ = B$
  9. 二次型正定的必要条件：顺序主子式都大于零
  10. 简单题

填空题

  1. 简单题
  2. 换序
  3. 不定积分，先对分母处理，把整个分式化成倒三角，然后按住后面不动，对前面凑微分分部积分，即可把后面抵消
  4. 二重积分定义
  5. 求偏导，把 $f_y$ 视作 $f_2$ 就能看懂了
  6. 简单题

解答题

  1. 真题考过了
  2. 把参数方程和微分方程结合起来考了，出得还不错，最后是解不定积分
  3. 几何应用 + 物理应用，求变化率的问题，注意抛物线要设对
  4. 微分不等式，做差，找初值，判单调性
  5. 二重积分，对称性化简积分区域，拆积分区域去绝对值，常规题
  6. 利用对角阵反向构造原矩阵，简单题

卷七

选择题

  1. 简单题
  2. 11月21号每日一题
  3. 简单题
  4. 简单题
  5. 通解形式反向构造
  6. 简单题
  7. 简单题
  8. 简单题
  9. 简单题
  10. 简单题

填空题

  1. 简单题
  2. 错题❌，题目应该把积分下限提到1，否则式子是错误的
    做法是，求两次导，利用平方差裂项，然后分别求高阶导
  3. 简单题
  4. 简单题
  5. 题目忽悠人，实际也是简单题
  6. 利用余子式反向构造

解答题

  1. 微分方程 + 不定积分
  2. 简单题
  3. 外摆线求体积和表面积
  4. 双中值问题，用拉格朗日中值定理
  5. 二重积分，对称性化简，然后直接积
  6. 简单题

卷八

选择题

  1. 简单题
  2. 简单题
  3. 两个零点
  4. 简单题
  5. $I_1$ 放缩出来求
  6. 二重积分，对称性
  7. 变量可分离型微分方程
  8. 若 $A$ 可逆，则 $A$ 可以只通过初等行/列变换之一，化成单位矩阵形式
  9. 简单题
  10. 简单题

填空题

  1. 参数方程求导
  2. 隐函数求导
  3. 一点处的高阶导数考虑泰勒展开
  4. 多元函数求偏导
  5. 二重积分，对称性
  6. 凑特征值定义

解答题

  1. 积分化归成数列，利用递推关系式求解
  2. 不等式很好证明，第二问放缩定积分定义
  3. 克拉默法则
  4. 二重积分，真题考过了原题
  5. 凯哥选填课上讲过的，利用推广的洛必达法则
  6. 没算完，不想算，没意思
    和相似类似的做法，不过合同要一直合同到标准型，然后再弄回去，真没意思，纯算