卷一

选择题

用等价无穷小凑，填选可以试试洛必达（虽然是错误做法，但大多数情况都是对的）
泰勒展开，高阶导数正负，以及左右变号
瑕点的阶
极直互化
求导，找单调性，然后找到零点，结束
可去间断点处即是连续也不一定可导：$|x|$
基本公式，推一下也没问题
向量组的关系问题，要知道两个线性无关的向量组不能互相表示时，可能占有相同的维度
借助对方其他的维度，是有可能表示出来的，也有可能不能表示出来
不过总体首先是一定存在一方维度超维另一方，因此拼起来秩增加
题干意思是 $\beta$ 可以由 $A$ 列向量线性表示
利用特征值找惯性指数

填空题

倒代还
对称性化简，然后分子分母约掉
求偏导数代值
二重积分换序
泰勒展开等比级数
$(A^{*})^{-1} = |A^{-1}| \cdot (A^{-1})^{-1}$

解答题

常规题
模拟题意，然后得出一个微分方程，按少 $y$ 的第一型降阶，然后按变量可分离型做
有点创新，但不够创新，二重积分，被积函数是一个 $max$ 函数，找到分段点，拆成分段函数后，正常做
偏导数，模拟题意
双中值，（专题还没写到）要到的方法是先设出分段点，然后化简结论后，讨论分段点位置
第一问是一个经典证明，群里给人答疑过一次，是利用方程组问题来求解的
第二问张八李六都考过了，不多解释

卷二

选择题

第一套出过了，求导绘制大致图像，找零点
区间再现，分离求导变量和积分变量，然后积分就好了
真题考过了，逆用牛顿莱布尼茨公式
张八考过，继续对 $f(x,x^2) = x^3e^{-2x}$ 求关于 $x$ 的偏导数，解一个方程即可
隐函数存在定理：
1. $F$ 在点 $(x_0,y_0)$ 某邻域 $D$ 内连续
2. $F(x_0,y_0) = 0$（通常称为初始条件）
3. $F$ 在某邻域 $D$ 内存在连续偏导数 $F_y(x,y)$
4. $F_y(x_0,y_0) \ne 0$ （一般是验证最后一个条件）
积分再现后并在一起，答案用的负代还：
$$
\int_{-1}^1 \frac{x\arctan x}{1+e^x}dx =
\dfrac{1}{2}\int_{-1}^1 \frac{(x\arctan x)(1+e^x)}{1+e^x}dx =
\int_{-1}^1 x\arctan xdx
$$
求导找各个区间上的单调性，然后绘制大致图像，根据极值定义去找点
向量组线性无关的问题，简单题
我没有被分块的结论，当场直接求的
A 选项是正定的定义，不难验证：$(\dfrac{\partial f}{\partial x_i}) = 0 \Rightarrow 2Ax = 0$，$(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j})= 0 \Rightarrow 2Ax = 0$
D 选项考的是正定矩阵合同于单位矩阵，正确表述应把 秩一分解 换成 合同分解

填空题

张八还是李林出过了，放缩然后定积分定义：
$$
1 \leftarrow \dfrac{n^2}{n^2+n} \cdot \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n \dfrac{k}{n} e^{\frac{k}{n}} \le \sum_{k=1}^n \dfrac{k}{n^2 + k} e^{\frac{k}{n}} \le
\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n \dfrac{k}{n} e^{\frac{k}{n}} \rightarrow 1
$$
求导代值，求导的时候就可以发现左边不求的项代值后为零，从而直接略过运算后面的复杂求导
二阶常系数齐次微分方程利用特解形式求出齐次形式下的参数，然后反解出特解的参数
参数方程表面积，套弧微分公式就好了
极限比较复杂，可以适当分解假分数后，拆极限来算
$$
\begin{aligned}
\lim_{x\to\infty}(\dfrac{x^2+1}{x+1}e^{\frac{1}{x-1}} - x) &=
\lim_{x\to\infty}(xe^{\frac{1}{x-1}} - \dfrac{x-1}{x+1}e^{\frac{1}{x-1}} - x) \\
&=
\lim_{x\to\infty}x(e^{\frac{1}{x-1}} - 1) - \lim_{x\to\infty}\dfrac{x-1}{x+1}e^{\frac{1}{x-1}}
\\
&= \lim_{x\to\infty}\dfrac{x}{x-1} - \lim_{x\to\infty}\dfrac{x-1}{x+1}\\ &= 1 - 1 = 0
\end{aligned}
$$
利用相似传递性转移研究对象：$P^{-1} (A - E) P = B \Rightarrow P^{-1}AP = B + E \Rightarrow A \sim B + E$
有：$|A| = |B + E|$

解答题

隐函数连续求导，极限用洛必达
多元函数最值，先找区域内的驻点，在找边缘上的极值
因为有三条曲线的约束，关于 $x=0$ 的可以直接令 $x=0$ 然后在线上找
对于 $x^2 + y^2 = 16$ 也可以直接令，然后在线上找
从而化为多个一元函数极值问题求解
简单题，通过 $sgn$ 函数对积分域分段，然后分别利用对称性化简
考可微定义：$\lim\limits_{(x_0,y_0)\to(0,0)} [f(x,y) - A(x-0) - B(y-0) - f(0,0)] = o(\sqrt{x^2 + y^2})$
求导找单调性，第二问利用第一问的结论判别单调性
$A \simeq B \Rightarrow A$ 的零惯性指数为 $2 \Rightarrow A$ 有二重特征值 $0 \Rightarrow |A| = 0$ 且 $r(A) = 1$
第二问太常规了：$P^TA^2P = P^TAP \cdot P^TAP = \Lambda^2$

卷三

选择题

极限求参数，可以直接倒代换
渐近线求极限，分别是水平渐近线/铅锤渐近线/斜渐近线，注意 $e^x$ 趋于无穷的极限不一样
正常做泰勒展开，选择题可以洛必达，虽然是错误做法，但一般都是对的
变上限积分函数等价无穷小
做差比大小，求导判单调性
通过通解形式反求微分方程，求出齐次后，对通解求导带入求出右侧形式即可
对条件处理出 $f(x)$ 然后代入右边
秩相等的同解问题
合同变换是可逆变换
$r(A) = r(A^T) = r(AA^T) = r(A^TA)$

填空题

反函数求导：$\dfrac{d^2x}{dy^2} = -\dfrac{y’’}{y’^3}$
一元函数可微定义：$\Delta y = A \Delta x + o(\Delta x)$，其中 $A = \dfrac{dy}{dx}$
任意点的高阶导数处理方法：1.找规律，2.莱布尼茨公式
本题用莱布尼茨公式
通过通解反求微分方程
简单的定积分，答案用的求和法把积分拆开，然后凑定积分定义，赞
$$
I = \sum_{k=1}^{n}\int_{k-1}^k \frac{x}{n^2+x}dx =
\sum_{k=1}^{n}\frac{\xi_k}{n^2+\xi_k}dx
$$
常见的放缩形式：
$$
\frac{1}{2} \leftarrow \frac{n^2}{n^2 + n} \cdot \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}\frac{\xi_k}{n} \le
\sum_{k=1}^{n}\frac{\xi_k}{n^2+\xi_k} \le
\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}\frac{\xi_k}{n} \rightarrow \int_0^1 xdx = \frac{1}{2}
$$
同解问题：$r(A) = r\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix} = r(B)$

解答题

参数方程求导，好屑的计算题
模拟题意，建立微分方程，少 $x$ 的第二型降阶求解，最后要化简（真题考过）
前天的每日一题
张八还是李六考过了，大圆套小圆，割补法
第一问单调性，第二问是直接求，没法找出递推关系用单调有界准则，第三问简单
$$
\begin{aligned}
e^{x_n} + x_n^{2n+1} &= 0 \\
x_n^{2n+1} &= -e^{x_n} \\
x_n &= -e^{\frac{x_n}{2n+1}} \\
\end{aligned}
$$
由于 $x_n$ 有界，故 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n = -\lim\limits_{n\to\infty}e^{\frac{x_n}{2n+1}} = -e^0 = -1$
常规题，表达式不唯一说明列向量线性相关，所以行列式为 0，然后利用非齐次有解筛掉错误答案
第二问求 A 的正交变换

卷四

选择题

$\epsilon - N$ 定义
简单题，重点在于要有一个无穷小量低消 $\sin x$ 的振荡，才会形成可去间断点，否则就是震荡间断点
利用瑕点收敛的阶可以确定参数 $a=b$，然后解一个不定积分即可
$$
\int\dfrac{b}{2x^2+bx}dx = \int \dfrac{b+2x-2x}{x(2x+b)} dx =
\int (\frac{1}{x} - \frac{2}{2x+b}) dx
$$
全微分存在，说明二阶偏导数连续，建立等式消元即可
均值不等式放缩：
$0\le 2xy \le x^2 + y^2 \le 1 \Rightarrow 0 \le \pi xy \le \dfrac{1}{2}\pi$
$0\le 2\sqrt{xy} \le x + y \le 1 \Rightarrow 0 \le \pi xy \le \dfrac{\sqrt{2}}{2}\pi$
按照定义去做就好了
齐次解形式确定出齐次线性微分方程，然后利用特解代入求出非齐次线性微分方程
简单题
列分块，真题考过了
特征重根的特征向量可以利用基础解系任意给出，但不能带上其他特征根的特征向量（超维行为）

填空题

求导，求极限，可以先把对数拆开再求导
先分离求导变量和积分变量，先确定初值，然后求导，再解微分方程，再代入求导前确定的初值
弧微分，可以直接用心形线的参数方程来求
答案用的有理函数分解做的，也可以直接拆项：
$$
\int \dfrac{1 + x - x}{x^2(1+x)} dx =
\int (\dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1 + x - x}{x(1+x)}) dx =
\int (\dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{1 + x}) dx
$$
极值互化，转直角坐标的参数方程（参数是极坐标下的 $\theta$），然后就是参数方程求导问题
按最后一列展开，可以直接获得递推式，然后求一个等差数列即可

解答题

常规题，泰勒展开，（大题不能洛必达）
可以直接背出这个展开：$(1+x)^{\frac{1}{x}} = e - \dfrac{e}{2}x + \dfrac{11e}{24}x^2 + o(x^2)$
依稀记得李六第一套出过了，不过这题比较简单，直接分区间拆绝对值，然后求导代值，很常规
真题考过原题，答案都一摸一样（这题要求 $a > 0$，所以最后两个答案要二选一，真题是两个都保留）
轮换对成性化简，然后极值互化，计算量不大
用万能构造法易得辅助函数：$F(x) = e^{\frac{-x}{b-a}}[f(x) - f(a)]$
有初值：$F(a) = 0$，需要找到另外一个零点，即可 Rolle 出答案，但是本题只给了 $f’(c) = 0$
根据之前写的【专题】中值定理证明题，除了罗尔，还有一个费马引理可以处理这个问题
若 $f(c) = f(a)$ 秒杀
讨论 $f(c) \ne f(a)$ 不妨设 $f(c) > f(a)$，易得 $F’(c) < 0$，故极大值在 $(a,c)$ 内部取到
有 $F’(\xi) = 0$
第一问如果直接莽上去也可以算，因为他给的矩阵太具体了
正常做法应该是列分块凑特征值定义
第二问，出题人还是想考特征值定义
因为 $r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) = 3$，则可以写出线性表示： $\beta = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3$，有：
$$
A^{2022}\beta = k_1A\alpha_1 + k_2A\alpha_2 + k_3A\alpha_3 =
k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + 2^{2022}k_3\alpha_3
$$
于是有等式：$k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + 2^{2022}k_3\alpha_3 = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3$，易得 $k_3 = 0$
然后就很简单了，利用 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 线性表示出 $\beta$ 即可

卷五

选择题

由于极限存在，故 $f(0) = f’(0) = 0$，故可凑导数定义：
$$
\lim_{x\to0}\dfrac{f(x) + f’(x)}{x} =
\lim_{x\to0}\dfrac{f(x) - f(0)}{x} + \lim_{x\to0}\dfrac{f’(x) - f’(0)}{x} =
f’(0) + f’’(0) = 2
$$
$\displaystyle\int_a^x$ 奇函数 $dx$ = 偶函数，$\displaystyle\int_0^x$ 偶函数 $dx$ = 奇函数
$($ 奇函数 $)’ = $ 偶函数，$($ 偶函数 $)’ = $ 奇函数
可以从几何上直接看出来，严谨数学证明用组合积分思想：
$$
\begin{aligned}
I - J &= \int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x - \sin x}{1+x^2}dx =
\int_0^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{\cos x - \sin x}{1+x^2}dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x - \sin x}{1+x^2}dx
\\
&=
\int_0^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{\cos x - \sin x}{1+x^2}dx +
\int_{\frac{\pi}{4}}^0 \dfrac{\sin x - \cos x}{1+(\dfrac{\pi}{2} - x)^2}dx
\\
&=
\int_0^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{\cos x - \sin x}{1+x^2}dx +
\int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{\cos x - \sin x}{1+(\dfrac{\pi}{2} - x)^2}dx
\\
&=
\int_0^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) \cdot (\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{1+(\dfrac{\pi}{2} - x)^2})dx > 0
\end{aligned}
$$
区间再现，然后求两次导，判单调性和凹凸性，简单题
选择题可以直接特值法 $f(x) = x$，严谨证明用到了微分中值的二次构造思想：
$\xi f’(\eta) = f(\xi) - f(0) \Rightarrow \xi = \dfrac{f(\xi) - f(0)}{f’(\eta)}$
$$
\begin{aligned}
\lim_{x\to0} \dfrac{\xi}{x} = \lim_{x\to0} \dfrac{f(\xi)-f(0)}{xf’(\eta)} &=
f’^{-1}(0)\lim_{x\to0} \dfrac{\displaystyle\int_0^xf(x)dx-xf(0)}{x^2}
\\
&=
f’^{-1}(0)\lim_{x\to0} \dfrac{f(x)-f(0)}{2x} = \dfrac{1}{2}
\end{aligned}
$$
利用非齐次特解形式，求出齐次方程，然后带入特解解出非齐次方程
连续好判断，但是这题用考研范围内的数学极限，判断不了函数是否可微
可以转换思想，直接去看他的偏导数是否连续，一个条件强弱的常识：
偏导数连续 > 可微 > (偏导数存在 && 函数连续)
简单题，利用相似对角理论秒杀
右乘行满秩不改变矩阵的秩：$r(A) = r(AB) = 3 = 4 - 1$，然后易得：$r((AB)^{*}) = 1$
给出的两个向量线性无关，有：$A = 2E + \alpha\beta^T \Rightarrow A\alpha = -\alpha$
以及：$r(A-2E) = r(\alpha\beta^T) = 1$，故有特征根：$\lambda = 2$ (二重)，$-1$ (一重)

填空题

简单题
求偏导，简单题
套形心坐标公式，简单题
求偏积分，然后解参数，简单题
直接对方程两侧求积分，对于 $y’’$ 项的处理用分布还原：
$$
\begin{aligned}
\int_0^1 x(x-1)y’’ dx &= \int_0^1 x(x-1) dy’ = 0-\int_0^1 y’(2x-1)dx \\
&= -\int_0^1 (2x-1)dy = -0+2\int_0^1ydx \\
\end{aligned}
$$
隐约记得，真题考过一年，不过是考二重积分的形式，但做法类似，也是通过连续分布积分凑
李六最后一套好像也考过了
特征多项式问题，简单题

解答题

答案用求导找的极值，更快速的方法是直接用均值不等式：
$$
\dfrac{1}{4a} + \dfrac{a}{2} - \dfrac{2}{3} \ge 2\sqrt{\dfrac{1}{2}} - \dfrac{2}{3}
$$
无条件极值加隐函数，求偏导找驻点，凑黑塞矩阵判别式，常规题
真题考过一年，李六第三张还是第四张也考过了
用已知条件先化简，然后解二阶非齐次线性微分方程，留数法和微分算子都可
考了万有引力，本物理渣挂掉了，这题还要额外受力分析
由于对称，在竖直方向上的分力被抵消了，只需计算水平方向上的合力即可
超简单的柯西中值定理和超简单的放缩
第一问易得，第二问常规，第三问真题考过
用了正交变换的保向量模长相等的性质，转换研究对象
对于这个做法，我在 【专题】多元函数极值问题 中进行了详解
把该做法，拓展到了一般二次型的多元函数问题，有兴趣的可以看一看