卷一

选择题

数列极限，转函数极限，分母用拉格朗日中值定理，我的做法和答案基本一致，就不多做阐述了
考的概念题，比较基础
利用奇偶性来做的，$\displaystyle\int_a^x$ 奇函数 $dx$ = 偶函数，然后分布积分一下，找答案即可
参数方程的旋转体体积问题，想防止柱壳法写错，可以直接用二重积分法
先找齐次的解的形式，然后对照写出非齐次特解，比较常规
考的二元极限，$f_1$ 用平方差拆开化简，$f_2$ 由于分子比分母次数低，肯定不连续
凯哥选填班有类似题目，如果 $a > \frac{1}{2}$，则是极小值点，用等式脱帽法做即可
用相似理论来做，首先 $A$ 是秩一矩阵，可以直接写出特征值：$0,0,0$
于是 $(E+A)^n$ 的特征值为：$1,1,1$，故 $(E+A)^n$ 的 trace 为 $3$，deg 为 $1$
标答用的秩一矩阵求高次矩阵，然后二项展开答案做的，也是一个不错的思路
由于 $A,B$ 正定，故 $(A^{-1}B)^T(A^{-1}B) = B^{-1}AA^{-1}B = E$ 可知：$A^{-1}B$ 也正定
又 $(A^{-1}B)^T = B^{-1}A$ 故两矩阵对称，因此有相同的特征值（读者自证不难，行列式取转置）
又 $B(A^{-1}B)B^{-1} = BA^{-1}$，故 $A^{-1}B \sim BA^{-1}$ 推出 2 错误
又 $Ax=Bx$ 有非零解 $\alpha$，故 $B^{-1}A\alpha = 0$ ，且 $A^{-1}B\alpha = 0$，存在公共特征向量
这题就是按照题目的意思去构造即可
找特征值的题，把系数 $\dfrac{1}{3}$ 一开始就提出，会变得简单一点

填空题

非常新的一道题，给定一个曲线方程：$x^3+y^3=y^2$，求斜渐近线
求渐近线，则渐近线一定存在，故不妨令 $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{y}{x} = k$ 来反求
这题出的也太牛了
参数方程问题，式子整理需要用到一定量的三角恒等变形
不定积分，三角换元，凑微分
全微分解最快，偏导数也可
物理应用
水题，水的有点过分

解答题

多元函数极值，没什么好手段，但是显然 $L_y$ 很好解，从他入手讨论消参
余丙森考过类似的二元题，真题考的是一元，方法一样，两侧取积分做
解一个二重积分，对称性化简，极值互化
数列极限，比较简单，有界性用第一数学归纳法即可，单调性利用有界性做商证明
我的方法与答案一样，不多阐述
李林、余丙森和真题考过第一问，链式求导化简微分方程
第二问比较新，其实就是求一个高阶导数
任意点的高阶导数，方法就两个：找规律和莱布尼茨公式法
这题显然找不到规律，求一阶导后，凑出幂函数，然后用莱布尼茨公式即可
这题也太新了，真题应该不会这么考，万万没想到考的是中值定理
第二问比较简单，值得注意的是答案是错误的，已知极限反求参数不能用洛必达法则
正确做法是，先换序，然后求导，然后被积函数等价无穷小，然后积分，然后代初值消 C
考了数量积的运算：$\alpha^T\beta = \beta^T\alpha$ 其他都比较常规

卷二

选择题

两个无定义点，讨论一下就好了，简单题
$f(x) = x^x$ 的函数图像知道的话，秒杀难度
$I_1$ 和 $I_2$ 直接看出来，然后和 $I_3$ 做个差即可（被积函数）
被积函数在一个周期上的积分值为 0，则变上限积分也为周期函数，按照这个性质推出 1 2
然后对3 4 用周期函数定义即可
区间再现，然后加起来，化简
条件极值，比较简单，就 3 个方程，随便搞一下就出来了，然后随便取一个点比较一下，判断是最大还是最小
答案用的无条件极值做的，利用约束条件，消掉了一个参数，然后就是二元函数问题了
积分比大小，但是不同于第3题，这里要整体做差，然后判断正负号（因为被积函数做差判别不了）
有一个小放缩挺妙的，不过也可以直接用几何看出来
$$
\begin{aligned}
\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{x^2}(2\sin x - 1)dx
&=
\int_0^{\frac{\pi}{6}} e^{x^2}(2\sin x - 1)dx +
\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} e^{x^2}(2\sin x - 1)dx
\\
&>
e^{\frac{\pi^2}{36}}\int_0^{\frac{\pi}{6}}(2\sin x - 1)dx +
e^{\frac{\pi^2}{36}}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}(2\sin x - 1)dx
\\
&=
e^{\frac{\pi^2}{36}}\int_0^{\frac{\pi}{2}}(2\sin x - 1)dx
\\
&=
e^{\frac{\pi^2}{36}}(2-\frac{\pi}{2}) > 0
\\
\end{aligned}
$$
$r(A) = r(A^T) = r(AA^T) = r(A^TA)$ 故 $A$ 列满秩，又左乘列满秩不改变矩阵的秩，易得
是一个远古习题，$A^2\alpha \ne 0,A^3\alpha=0$，可构造无关向量组：$P=(\alpha, A\alpha,A^2\alpha)$
则 $P^{-1}AP = P^{-1}(A\alpha,A^2\alpha,0) = P^{-1}(\alpha,A\alpha,A^2\alpha)\begin{pmatrix}
0&0&0\\
1&0&0\\
0&1&0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0&0&0\\
1&0&0\\
0&1&0
\end{pmatrix}$
刚学向量组的时候，应该都接触过这题，不过本题难点在于反向构造出来 $P$
$tr(AA^T) = \sum\limits_{i=0}^n a_{ii}^2 = 0 \Rightarrow A = O$
2用分块计算行列式显然易得，3可以参考一下我下面写的东西
4考的是一个构造问题，比较难想到（指我没想到）

这里分享一个利用顺序主子式正负求惯性指数的方法，首先把顺序主子式按序列如下展开：
$$
1, A_1, A_2, \cdots , A_n
$$
则正惯性指数为相邻顺序主子式之间的保号数，负惯性指数为变号数
举一个简单的例子：若 4 阶矩阵的顺序主子式值为：$1, 2, 3, -2, -3$
易得正惯性指数保号数为 3 即：$(1,2), (2,3), (-2,-3)$
负惯性指数变号数为 1 即：$(3,-2)$

【注】有 0 出现的时候，该法不适用

填空题

根式换元，简单题
一点处的高阶导数一般有两种做法，泰勒展开和求极限
但是本题并不是在 $x=0$ 处展开，故代入后高阶不会消失，因此不能用一点处的高阶导数做法
剩下就是任意点高阶导数做法了，即找规律和莱布尼茨公式，考虑求几阶找规律
最后统一代入
瞎搞搞出来了，实际考的是链式求导法则:
$$
r = z_r = z_x \cdot x_r + z_y \cdot y_r = \cos \theta z_x + \sin\theta z_y
$$
参数方程求导
二重积分，比较简单，还原积分域，然后对称性化简，极值互化
对于构造能力的要求过于高了（不会），放在最后一题，然后给个第一问还是可以做一做的
利用了行列式的单列/行可加性拆分，分离参数 $b$ ：(这一步不太容易想到)
$$
c = \begin{vmatrix}A&\alpha\\\alpha^T&b\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}A&0\\\alpha^T&b\end{vmatrix} +
\begin{vmatrix}A&\alpha\\\alpha^T&0\end{vmatrix} =
b|A| + \begin{vmatrix}A&\alpha\\\alpha^T&0\end{vmatrix}
$$
只需求出右边的行列式，即可解出 $|A|$
然后就很简单了，用行列式的恒等变形化成分块上三角行列式即可：
$$
\begin{vmatrix}A&\alpha\\\alpha^T&0\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}A&0\\\alpha^T&-\alpha A^{-1}\alpha^T\end{vmatrix} = -\alpha A^{-1}\alpha^T \cdot |A|
$$
又 $A$ 为反对称矩阵，故 $(A^{-1})^T = (A^T)^{-1} = -A^{-1}$，即 $-\alpha A^{-1}\alpha^T = \alpha A^{-1}\alpha^T$
易得：$\alpha A^{-1}\alpha^T = 0$，故 $|A| = \dfrac{c}{b}$

解答题

第二个考到二重积分中值定理的题（第一个出自李六）
由于 $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) \ne 0$，故可以用二重积分中值定理化简，提出 $f(\xi,\eta)$ 直接用连续性代值
然后求一个内摆线的面积
设问很新，其实只要按照题意模拟即可，先对特解 $y^{*}$ 求导，然后代入微分方程化简
真题考过两次了，一次是1999年数二（完全抽象型），一次是2011年（调和级数）
答案的放缩比较麻烦，最方便的做法是求和符号和积分符号统一做法
$$
a_n = \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{k}}dx - \int_0^n\dfrac{1}{\sqrt{x}}dx =
\sum_{k=1}^{n-1}\int_k^{k+1} (\dfrac{1}{\sqrt{k}} - \dfrac{1}{\sqrt{x}})dx + \dfrac{1}{\sqrt{n}} - 2 \ge -2
$$
多元函数结合微分方程的考法，真题见的不多，武忠祥每日一题很多
（可以直接在博客下找微分方程tag，我没记错的话，每日一题微分方程都是结合多元函数的）
比较简单，不多解释了，具体可以参考答案
第一问比较简单，直接求导比较麻烦，不妨化简一下结论，构造辅助函数 $F(x)=1+x^2-e^{x^2}$
标答的辅助函数还是有些复杂，然后说一下第二问，这个构造，实在不容易想到（我不会的意思）
至少他也应该把 $\sqrt{n}$ 开局放在左边吧，不然很难想到是一个积分数列的问题
关于这个积分数列问题，真题考过一次（2019年）
$$
I_n = \int_0^{+\infty} \dfrac{1 - x^2+x^2}{(1+x^2)^n}dx = I_{n-1} - \int_0^{+\infty}xd[(1+x^2)^{-(n-1)}]
$$
屑题，就是按照题目意思构造，然后利用构造的东西反复代入即可

卷三

选择题

先求导，然后利用变上限积分等价无穷小来做最快
导数定义
根据选项构造辅助函数，然后求二阶导判断正负性
几何上来看最快，由 $F(x)$ 大于 0，故积分域越大，平均值越大
看瑕点的阶
二重积分换序，极值互化
黑塞矩阵判别式，边界靠多元函数极限来确定 $(x \pm y)^2$ 在 $(0,0)$ 显然不是极值点，路径 $y=\mp x$
向量组的问题，B 虽然难证明，但 ACD 容易举反例，我大概说一下我的想法：
如果 $\alpha_1\ne 0$ 则 $\alpha_1$ 至少占掉了 $1$ 维，后 $n-1$ 个向量至多额外占 $m-1$ 维空间
故 $n-1$ 的向量中，对答案有贡献的最多只有 $m-1$ 个向量，又 $n>m$ 考虑极端情况，$n=m+1$
则必定有一个向量的贡献为 $0$，因此 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ 线性相关
简单题
想推出 $E-A$ 可逆，等价于推出 $(E-A)x=0$ 只有零解
$x^T(E-A)^Tx = x^T(E-A)x \Rightarrow ||x||^2 - x^TAx = ||x||^2 - x^TA^Tx$
若 $A^T = -A$，则 $x^TAx = x^TA^Tx = -x^TA^Tx = 0$，故 $||x||^2 = 0$ 得证只有零解

填空题

隐函数求偏导
齐次解还原微分方程，主义虚根是二重根
物理应用，这里的速度是指沿着AB方向的速度
模拟题意
换序凑微分
解行列式

解答题

对称性化简，极值互化
模拟题意，求多元函数偏导，然后解方程
第一问直接构造辅助函数，利于单调性证明
第二问按照第一问放缩，再定积分定义
变量可分离型齐次微分方程，直接用等腰三角形建方程即可，答案复杂了
看似三中值，实际就是双中值问题，给的第三个中值是在提醒你它就是分点
利用积分因子还原，易得显然易见，没什么好说的
设问方式很怪，实际就是利用相似传递性，对于未知的A，去解已知的B，做到转换研究对象的目的‘

第三套挺简单的，设问有点新，难度系数挺符合今年的