卷一

粗略点评一下，填选很多都在共创第一套里见过了，整体难度中等
命题风格比较符合今年的架势，很推荐刷一下
线代部分还是有点白给

选择题

  1. 泰勒展开做个多项式乘法，找等价关系
  2. 大致绘制一下函数图像，就知道在 $\pm1$ 不平滑，不用去讨论，肯定不可导
    分段求导即可选出
  3. 共创第一套的原题，李六一道原题的升级版
    因为只有二阶导数大于0的信息，故单调性判别的时候考虑去凑 $f’-f’$ 的形式，从而利用上 $f’’>0$
    这里就用到了拉格朗日：$xf’(x) - f(x) = xf’(x)-f(x)-f(0) = xf’(x)-xf’(\xi)$
  4. 利用瑕点的阶写出 $a = 1$，然后求一个定积分即可
  5. 等比级数展开，答案写的好复杂
  6. 可微定义，多元函数求偏导
  7. 商的求导公式还原，再用对数函数还原
    答案用的少 x 的第二型降阶做的
  8. 秩一矩阵特征值的结论：$\mathbf{tr}(A)$(1重)，$0$ (n-1重)
    证明是可逆变换，然后列分块线性表出
  9. 合同定义
  10. 这里要揣测出题人的意思，是让你证明矩阵是否是对称阵，然后就很简单了

填空题

  1. 弧微分
  2. 参数方程求导
  3. 物理应用，根式换元求定积分
  4. 二重积分换序
  5. 隐函数求偏导数
  6. 很简单的一道题，但是要小心，求的矩阵是 6 阶的，他是拼起来的

解答题

  1. 幂指函数求极限
  2. 第二问按照题目意思模拟，最后会把参数 a 消掉，就很简单了
  3. 和李三最后一套里的微分方程差不多，齐次型化简
  4. 全微分求偏积分还原原函数，然后计算一个二重积分
    这里要先用三角恒等变形化简，否则会很痛苦
  5. 和20年数一的证明题类似，第一问直接用拉格朗日分段估计
    第二问凑微分分布积分还原，最后套绝对值放缩，很简单
  6. 屑题

卷二

选择题

  1. 常规题，等比级数展开

  2. 答案用的导数定义，也可以直接泰勒展开，变成幂函数来求导，会更快

  3. 常用极限结论：$e^{nx} = \begin{cases}+\infty & x>0 \\1 & x=0 \\0 & x<0\end{cases}$

  4. 本题就是 导数零点定理 证明过程中的一小步
    几何上画出那个图就懂了；书写上用极限保号性配合左低右高

  5. 题干给的是：$f’(x) - f(x) > 0$，考虑积分因子法还原：$[e^{-x}f(x)]’ > 0$
    然后构造辅助函数：$F(x) = e^{-x}f(x)$，利用单调性有：$e^{-x}f(x) > e^0f(0)$
    即：$f(x) > e^x$，再两侧积分有：$\displaystyle\int_0^1 f(x)dx < e - 1$

  6. 多元函数求偏积分，再代值求偏导数
    这里我犯病了，$\displaystyle\int \dfrac{1}{x}dx = \ln |x| + C$ 这里是有一个绝对值的，最近不定积分见少了

  7. 简单题

  8. 李六第一套里出过类似的，这题再额外多了一步的屑题罢了
    $(A + 2 E)(A - E) \alpha = 0$ 有非零解 $\alpha \ne 0$，故 $|A+2E| \cdot |A - E| = 0$
    若 $|A+2E|\ne 0$，则 $A\alpha = \alpha$，得出 $\alpha$ 是 $A$ 特征值为 1 的特征向量，与题意不符
    若 $|A-E|\ne 0$，则 $A\alpha = -2\alpha$，得出 $\alpha$ 是 $A$ 特征值为 -2 的特征向量，与题意不符
    故 $A$ 同时有特征值：$2,1$，于是有：$f(2)=f(1) = 0$，用 Rolle 定理易得：$f’(\xi) = 0$

  9. 这题 1，2 考的是同解问题，需要构造拼秩，但是 3 的错误很明显，所以还是屑题
    （A）：$A^T\alpha = 0, \beta^T\alpha = 0$，易得：$\alpha$ 是 $A^Tx=0$ 和 $\begin{pmatrix}A^T \\ \beta^T\end{pmatrix}x = 0$ 有同解：$\alpha$
    故 $r(A) = r(A^T) = r\begin{pmatrix}A^T \\ \beta^T\end{pmatrix} = r(A,\beta)$，得出结论：$Ax=\beta$ 有解

    （B）：反证法，设出解 $x$ ，回代易得 $\alpha^T Ax = 1$，又 $\alpha^TA=0$ 矛盾，易知无解

  10. 屑题，二次型入门题，分别乘 $\alpha, \beta, \gamma$ （$\gamma$ 是与 $\alpha,\beta$ 两两正交的正交向量）
    易得特征值为：$1, 2, 0$ 再又惯性定理写出答案即可（答案用的秩的不等式，大可不必）

填空题

  1. 考点和第三题一模一样
  2. 参数方程求导，套公式最快：$\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} = \dfrac{y’’x’ - x’’y’}{x’^3}$
  3. 易得：$x=e$ 取最小值，考虑没有计算器的时候如何比较：$2^{\frac{1}{2}}$ 和 $3^{\frac{1}{3}}$
    比较他们的六次方即可：$\dfrac{1}{8} > \dfrac{1}{9}$
  4. 背景是几何应用，实际考的是二重积分换序
  5. 给的形式看上去是考变量可分离型，实际考的是一阶线性微分方程，用积分因子还原即可

    自从学会积分因子法后，很少去套公式了，做起题来也快了（公式法狗都不用）
    什么是积分因子法：2022考研数学高等数学部分—微分方程的优化解法

  6. 屑题

解答题

  1. 幂指函数求极限，分类讨论 “$0^0$”型 和 “$\infty ^0$” 型
    一开始也可不讨论，用 洛必达的推广型 做，在最后一步分类讨论即可
  2. 抽象函数等式，考虑构造任意点的增量型导数定义建立微分方程
    由 $f(x)f(y) = f(x+y)$ 构造：$f(x+\Delta x) = f(x) \cdot f(\Delta x)$，由增量型导数定义：
    $$
    f’(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} =
    \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x)[f(\Delta x) - 1]}{\Delta x} = f(x)f’(0)
    $$
    化简易得：$f’(x) + f(x) = 0$，由积分因子法易得：$f(x) = e^{-x}$
    第二问比较简单，注意极值点可能是驻点或导数不存在的点
  3. 比较裸的题，怕你拉格朗日乘子解不出来，还直接把解给你了，让你反求参数，泪目
    先构造，然后代入 $x,y$ 的值，反解 $a,b$ 计算量很小
  4. 积分域没有任何的对称性化简，转极坐标也比较复杂，我直接在直角坐标下分段积了，计算量中等吧
    答案是极值互化后 $\theta ,r$ 换序了，答案的方法更好
  5. 利用弧微分计算曲线长度建立微分方程，是二阶微分方程的少 $y$ 第二型
    换元降阶，然后瞎搞搞就出来了，计算量不大
  6. 屑题，太裸了

卷三

选择题

  1. 分离参数，求导绘制大致函数图像，然后找交点个数
  2. 结论题：连续函数 开区间 内如果存在 唯一极值点，那该 极值点 就是 最值点
  3. 分段用拉格朗日中值定理放缩
  4. 二重积分，极值互化
  5. 隐函数方程求偏导数
  6. 二阶微分方程少 y 第二型降阶
  7. 极值互化后 $r,\theta$ 换序
  8. 用相似转换研究对象
  9. 方程组有解问题，$r(A) = m < n$
    $r(A,b_m) = m < n$ 有无穷解
    $r(A^T) \le r(A^T,b_n) \le n$ 可能无解
  10. 数专最快速的方法是 合同变换法 ，非数专 配方法 即可

填空题

  1. 参数方程求导
  2. 考曲率半径的公式，构造好方程后求导找单调性和极值点即可
  3. 不定积分，根式换元
  4. 二重积分换序，然后变上限积分求导
  5. 19年考过一次大题，22年的张四也拙劣的模仿过，求和积分统一化做（通法）
    答案用的是区间再现去的绝对值，不过如果是真题的形式：$e^{x}\sin x$ 区间再现就用不了了
  6. 研究特征值的问题，简单题

解答题

  1. 被积函数中把求导参数换元，再洛必达即可
  2. 先用对称性干掉分母，再极值互化
  3. 积分不等式中最简单的一类：变上限积分法，把所有的 a 换元成 x 构造辅助函数，确定初值后求导
  4. 二阶偏导数连续，构建微分方程，换元后是一阶线性，用积分因子法还原
  5. 放缩定积分定义
  6. 第一问就是构造，凑一凑就出来了；第二问裸题

卷四

选择题

  1. 常规题，泰勒展开，合并项

  2. 由题易得：$x\to +\infty$ 时，有 $f(x) = -x - 1 + o(1)$ ，直接选出即可

  3. 利用二阶偏导数连续，$u_{xy} = u_{yx}$ 建立恒等式，反求参数

  4. 1和3用一下区间再现和2比较，做差放缩都没用到，比较简单的积分比大小题

  5. 根据定积分换元定积分定义

  6. 易得 $k^{-\frac{1}{2}}$ 是极小值点，故最大值在两端取到

  7. 先易得特征根为 $\lambda = -a \pm \sqrt{a^2-b^2}$，然后写出通解：$\overline{y} = C_1e^{\lambda_1x} + C_2e^{\lambda_2 x}$

    欲求 $\displaystyle\int_0^{+\infty} y(x) dx$ 存在，又已知 $\lim\limits_{x\to+\infty}y(x) = \lim\limits_{x\to+\infty}y’(x) = 0, y(0) = y’(0)=1$，不妨考虑用微分方程反解
    $$
    \begin{aligned}
    \int_0^{+\infty} y(x)dx
    &=
    -\dfrac{1}{b^2}\int_0^{+\infty} [y’’(x) + 2ay’(x)] dx
    \\
    &=
    -\dfrac{1}{b^2} \int_0^{+\infty}d[y’(x) + 2ay(x)]
    \\
    &=
    \dfrac{1}{b^2} (1+ 2a)
    \\
    \end{aligned}
    $$

  8. 拼起来初等行变换，简单题

  9. 行向量组等价，说明可经过有限次初等行变换互化：$PA=B$ 于是有 $Ax = 0 \Rightarrow PAx=0$ 同理可证得 $Bx = 0 \Rightarrow P^{-1}Bx = 0$

  10. 特征值出来，行列式的值就出来了，然后代还伴随矩阵即可

填空题

  1. 隐函数求导，简单题

  2. 求导反解参数，俗称模拟题

  3. 取对数然后凑定积分定义，简单题

  4. 这里要注意 $x$ 的范围，不能只计算 $[0,\pi]$ 的区间（指我自己）

    具体做法和卷三15题基本一致（我指的是我的通法，不是标答给的方法）

  5. 二重积分极值互化

  6. 按行展开定理反向构造行列式

解答题

  1. 卷二的第18题原题，利用导数定义建立微分方程

  2. 常规题里穿插了二重积分的计算，还是常规题

  3. 偶数年考过一次一模一样的，做法完全一样

  4. 高阶导数的两种方法：

    1. 求导找规律
    2. 莱布尼茨公式

    这题找一下规律就出来了，显然

    第二问答案复杂了，利用上 $f^{(n)} > 0$ 除了 $f^{(n-1)}$ 的单调性，还可以对 $f^{(n-1)}$ 再求一次导，显然

  5. 第一问易得，说一下第二问

    1. 标答的思路：单调有界准则

      显然，递推函数 $f(x) = \dfrac{1}{4}(x + f(x))$ 是单调递增的，有已知结论可知 $f(x_{n + 1}) - f(x_n)$ 与 $f(2) - f(1)$ 一致

      然后配合单调性，用单调有界准则

    2. 我的思路：压缩映像原理

      将第一问的 $\xi$ 代入方程易得：$F(\xi) = \dfrac{1}{4}[\xi + f(\xi)] = \xi$

      考试的时候我直接用第一型压缩了。这题也可用第二型，压缩因子放缩易得，如下：
      $$
      F’(x) = \dfrac{1}{4}(1 + f’(x)) < k = \dfrac{1}{2} < 1
      $$
      第二型的证明方法如下：
      $$
      \begin{aligned}
      |x_{n+1} - \xi| = |F(x) - F(\xi)| = |F’(\xi_n)| \cdot |x_n - \xi| &\le \dfrac{1}{2} \cdot |x_n - \xi|
      \\
      &\le \cdots \\
      &\le \dfrac{1}{2^n} |x_1 - \xi|
      \end{aligned}
      $$
      故 $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = \xi$

  6. 常规屑题，李林四套卷的线代出的真的屑