李林冲刺六套卷（数二）总结

卷一

选择题

1. 已知极限反求参数，方法很多，标答给的是除 $x^3$ 解极限
   我这里直接把后面一项在加号处拆开，然后用等比级数泰勒展开做的
2. 考了一个数列常用极限 $
   e^{nx} = \begin{cases}
   \infty &,x > 0 \\
   1 ,& x = 0 \\
   0, &x < 0
   \end{cases}
   $
3. A、B考拉格朗日构造函数，在 $[0,x]$ 和 $[x,1]$ 上分别拉一下
   然后利用凹凸性找单调性，建立不等式
   C、D 利用 $f(0)=f(1)$ 移项，然后利用单调性建立不等式
4. 考微分方程解的结构，ez难度
5. 考可微定义：
   存在 $A,B, s.t. f(x,y) - Ax - By - f(0,0) = o(\sqrt{x^2+y^2})$
   秒选的题
6. 考反常积分敛散性，A、B直接比较在瑕点的阶，秒杀
   C、D利用奇偶性
7. 之前真题遇到过，上次不会，这次会了，直接泰勒展开，然后两侧取积分结束
8. 这算是比较新的一道题了
   答案用的是 $f(0) = |-A|-|A^{-1}| = -2$ 和 $f(1) = |1-A| - |A^{-1}| = -1$
   然后拉一下：$f’(\xi) = 1$ 找到切线与 $y=x$ 平行的点
   我的方法是直接写出 特征多项式，由于 $1$ 是三重根，故 $|xE-A| = (x-1)^3$
   则 $f(x) = (x-1)^3-1 \Rightarrow f’(x) = 3(x-1)^2 \Rightarrow f’(0) = 3, f’(1) = 0$
   由 导数介值定理（达布定理） 可知 $f’(\xi) = 1$
   我觉得我的方法比答案好
9. 提公因式，屑题
10. 更屑，口算题，甚至可以把算也给去掉

填空题

11. 反函数的导数问题，然后求极限，拉一下
12. 幂指函数求极限，取指对数
13. 隐函数求全微分，三种方法
14. 凑定积分定义，然后算4个定积分，答案用了奇偶性干掉了两个
15. 考了一个跨阶凑导数定义，也可以直接泰勒展开（本质一样）
16. 屑题，惯性定理

错了第14题，连求4个定积分最后加起来的时候正负号没搞好，寄了

解答题

17. 屑题，答案写的很麻烦，上来可以直接被积函数等价无穷小，把 $\sin x$ 干掉
    然后正常换元去积分符号就好了
18. 二重积分极转直，然后疯狂的凑微分就结束了
19. 裸题，没意思，第一问的提示不给，只给第二问也是裸题
20. 出的真屑啊，考多元函数极值，前面还铺垫这么多模拟题意的过程？？
    模拟到最后，是两个分式相加，各有3次的系数，会出题？？？算高中圆锥曲线呢？
    我做到这就不想写了，太屑了
    最后是解一个拉格朗日乘子，可以用我在专题 多元函数极值 中写到的很多方法
    二次型、齐次式、对称式，反正极值这部分考的很简单
    前面铺垫的那么恶心的模拟题意是真不会出题是吧
21. 二阶变系数微分方程，少 x 的第二型，令 $p = y’$
    第二问，求旋转体体积，二重积分莽上去就完事了
22. 屑题，常识告诉我们 $A$ 与 $A^*$ 共享相同特征值下的特征向量
    因此直接把 $A$ 正交对角化，求出的正交变化 $Q$ 也能是 $A^*$ 对角化
    答案贼烦琐，相当于证了一遍我一开始说的那个常识，真没必要。。。

总分 138
填空题 No.14 计算错误 + 解答题 No.20 被出题人恶心 （不会出题可以不出）

卷二

选择题

1. 可以换元，也可以直接利用被积函数等价无穷小秒杀
2. 求间断点，比第一套还简单
3. 边上限积分天生具有连续性，验证可导性，只需验证被积函数在该点是否连续即可
4. 泰勒展开，拉格朗日，求渐近线，简单难度
5. 套娃，之前考 $f(x)$ 左高右低，现在考 $f’(x)$ 正负性，多加一阶导数研究，本质没区别
   还是一点不能推邻域，但是少一阶邻域的信息是有的，属于数学常识
6. 先解微分方程，再求反常积分，计算题
7. 极坐标 $r,\theta$ 换序
8. 秩的不等式：$A_{m\times n}B_{n\times s} = 0 \Rightarrow r(A) + r(B) \le n$
9. $A^* A=|A|E=0$，则 $A$ 的列向量都是 $A^*$ 的解向量
10. 合同变换，然后惯性定理（室友行列式相等秒杀了，y1s1 选项出的不好）

填空题

1. 分母是指数，猜对了是 $0$（室友用的积分中值定理，答案用的放缩，答案方法推荐）
2. 隐函数求导，简单难度
3. 弧微分
4. 弧微分，连考两题还行
5. 没做出来，室友直接换序做出来了
   对于 $\iint \sqrt{x^2-y^2}d\sigma$ 的二重积分，先 $y$ 后 $x$ 会简单
6. 答案用的 伴随与逆 的等式，我的方法更好，直接用按列展开定理，把最后一列替换成 $1$ 构造新的行列式
   然后原行列式，每一列全部加到最后一列，提出 $a$ 结束

第一题猜对了
第五题没搞出来，试过转极坐标，没成功就没多想，因为觉得 $x$ $y$ 对称性较强，换序作用不大
实际上换序作用很大，一个积出来是 $\cos x$，一个是 $\ln|\sin x + \sec x|$

解答题

1. 很简单，先求导，再 $x$ 换 $-x$，联立就求出来了
   虽然但是，步骤都对，但是还是求错了，寄
2. 多元函数极值，目标函数是一个三次型，不过 $L_x + L_y$ 该消的都消光了，别忘记讨论端点值
3. 弧微分建立微分方程，最后算得的方程是 $y+\sqrt{y^2-k^2} = g(x)$，这个方程是可以求出 $y$ 的
   以前真题考过，那次不会，这次搞出来了，先取对数，利用 $\ln(y + \sqrt{y^2-k^2})$ 奇函数求出 $y$
4. 二重积分，划分积分区域分别积，一个极直互化，一个直接计算
   直接算的那个，差点莽上去了，室友莽上去了，居然还算出来了，牛。。。实际用轮换对称性就消光了
5. 方成列问题，14年考过，问的方法都一摸一样，第一问零点定理 + 单调性
   第二问方程两侧取极限，找到 $\sin x$ 的极限，然后幂指函数取指对数，再连续成函数极限
   求出极限后，用海涅准则还原成数列极限
6. $Q^{-1} A Q = \Lambda \quad\Rightarrow\quad Q^T A^T(Q^T)^{-1} = \Lambda^T = \Lambda \quad\Rightarrow\quad Q^{-1} A Q = Q^T A^T(Q^T)^{-1}$
   $\Rightarrow (Q^T)^{-1}Q^{-1} A Q Q^T = A^T$
   只需算一次矩阵乘法（超简单），按照答案的方法，先求 $A^T$ 的特征值，在分别求了三个特征向量
   然后构造 $C^{-1}AC = Q^{-1}A^TQ \Rightarrow QC^{-1} A CQ^{-1} = A^T$ 然后算一个逆矩阵 $Q^{-1}$，和一次矩阵乘法 $CQ^{-1}$，属实不配作为标答

第一题算错了，直接寄

总分 136
填空题 NO.15 没做出来，换序积会更方便（再次证明了二重积分只考对称性、极直互化、换序）
解答题 No.17 算错了，10分全部扣光，直接寄

卷三

选择题

1. 利用连续 + 可导建立两个方程，求出两个未知数
2. 全微分存在，则必然偏导数连续 ，利用 $z_{xy} = z_{yx}$ 建立方程求出参数
3. 构造辅助函数 $F(x) = \frac{f(x)}{x}$，求导找单调性
4. 我在 【专题】中值定理 中介绍过这种题的做法，罗尔秒杀
5. 反常积分敛散性问题，找被积函数在瑕点的阶
6. 积分比大小，换元到同一上下限后，比较被积函数大小即可，记得都是一个系数带上一个 $f(x)$，比较系数即可
7. 先用三角和差公式把被积函数中的三角函数分离: $\sin(x-t) = \sin x\cos t - \cos x \sin t$
   接着就是考函数奇偶性与原函数奇偶性之间的关系
   这里给的是下限为0的边上限积分 $\int_0^xf(x)dx$，故若 $f(x)$ 偶，则 $F(x)$ 奇
8. 考初等矩阵，简单难度
9. 考对称矩阵不同特征值之间的特征向量正交，构造方程解即可
10. 答案用的特值法，我是直接看出来的，因为原来无关，延长后必定无关；原来相关，延长后不一定相关
    利用这个准则，把 $D$ 列分块或者行分块都可，然后就很显然了

填空题

1. 定积分定义
2. 物理应用，考的水压力 $F = P S = \rho g h S$，终于做对一次物理应用了，泪目
3. 考极限的局部保号性
4. 考隐函数求偏导，计算题
5. 二重积分，换序，算错了，寄
6. 直接令特值 $A = E$ 就做出来了；证明方法是：
   $|E - A^2| = |A^TA - A^2| = |A|^2|A^T \cdot A^T - E| = |A^2 - E|$
   于是有：$|E - A^2| = (-1)^{2n+1}|E - A^2|$，则 $|E - A^2| = 0$
   考试的时候，两个方法都写了一遍，因为特值出的太突然了，感觉题目没这么简单，事实证明，出得真不行

解答题

1. 洛必达去积分符号，幂指函数取指对数，等价无穷小，简单题
2. 分类讨论来去积分符号，求导找单调性，最后极小值算错了，寄
3. 定积分几何应用，求面积这里可以直接用 形心坐标公式逆用 秒出，第二问旋转体体积，用 割补法
4. 超级简单的条件极值，根据我写的 【专题】多元函数极值，这一题可以用的方法可太多了
   我是用的 二次型 来做，求一个 $2 \times 2$ 的矩阵特征值就和小学加减乘除一样快速
   然后第二问也是直接秒出的
   这题应该还可以用：对称式，三角换元，齐次式来做
   不等式放缩应该不行，因为只能向一个方向上放缩，但是这题最大最小值都要求（可能也可以反向放？没细想过）
5. 这题寄了，以为是心形线，实际上只是一个凸面，算第二问也可以用 形心坐标公式逆用 解出 $\iint yd\sigma$
6. 思路是简单题，但是答案不能让我信服，答案的做法是：$B^2 = A = Q\Lambda Q^T = (Q C Q^T)(Q C Q^T)$，然后就推出 $B = QCQ^T$
   有点问题呀我感觉，$B^2 = C^2$ $\Rightarrow$ $B = C ??$

总分 134
填空题 NO.15 计算错误
解答题 NO.18 最后一步计算错误
解答题 NO.21 图形都看错了，直接寄
坏起来了，现在大题稳定要寄一道

卷四

选择题

1. 和上一套一模一样，连续和导数定义建立两个方程两个求解两个未知数
2. 本质应该是考导数定义，结合极限保号性，不过这个就是证明过导数介值定理个过程，可以直接秒出答案
3. 利用定积分可拆性，去掉绝对值，然后求导判单调性，找极值点，这题计算错误了
4. 物理应用，又做对了，好起来了，是一个变化率问题: $\frac{\mathbf{d}V}{\mathbf{d}t} = \frac{\mathbf{d}V}{\mathbf{d}h} \cdot \frac{\mathbf{d}h}{\mathbf{d}t}$
5. 先求二重积分，再代入求极限即可
   答案用的 二重积分的中值定理
   先证明在积分区域上 连续，然后就可以直接用了 $\iint f(x,y) d\sigma = \frac{1}{S_D}\iint f(\xi, \eta)d\sigma$
   虽然但是，你这方法不超纲吗
6. 多元函数极限证明连续，分子次数大于分母，应该存在，所以直接放缩分母即可
   偏导数显然连续，可微直接写出可微定义式，然后再求一个多元函数极限
7. 积分域关于 $y=-x$ 对称，被积函数具有轮换对称性：$f(x,y) = -f(-y, -x)$ ，故二重积分值为 $0$
   答案是拆开来看的，也行，就是有点麻烦
8. $PA = B$ 行分块结束
9. 这题眼瞎了，看到惯性指数为 $1$，看到标准形，直接选了 $B$，然而求的是 $A^*$ 的标准形
   利用那个表转换特征值就行了
10. 送分题，超过 $1$ 分钟都慢了

错了两道选择题，一个是计算错误，一个是题目看错
明明打了那么久比赛，最大的收获就是要认真读题和注意数据范围，回到应试考试又变回来了。。

填空题

1. 先算不定积分，再代入求一个极限
2. 弧微分，还是没有把极坐标下的公式背出来，又现场推了一遍
3. 模拟题，最后求一个极限
4. 微分方程，这题我出大问题了，直接就求导了，被积函数里还有未知数 $x$，要先换元
   感觉这种问题，在积分里参数变多的时候就会忽视，需要注意
5. 看到平方和还有不转极坐标的人嘛
6. 和选择题第 9 题考的是一个东西

NO.14 出大问题了，以后变上限积分函数求导去积分符号的时候一定要先检查被积函数

解答题

1. 第一题的数列极限一般就是送，单调有界准则秒杀，第二问先连续化，再海涅定理还原
2. 多元函数求偏导，看计算能力的题
3. 第一问直接用我在 【专题】中值定理证明题 中提到的 万能构造法 求一个不定积分，原函数就出来了
   求导判别单调性，证明”至多”，再结合”至少”，夹逼即可
4. 二阶变系数微分方程，真题考过，先用换元化简成二阶常系数微分方程，然后经典：齐通 + 非奇特 = 非奇通
   这题求出来后还要换回去，我考试的时候没读懂什么叫 原微分方程通解，看了答案才知道原来是把换元还原回去
   第二问，代入初值解出参数，没什么好说的
5. 二重积分，积分域是大圆套小圆，用割补法，然后极直互化，处理小圆直接平移极坐标原点
6. 送分题，正常肯定不会这么考啊，这题就是算两个矩阵乘法，谁线代大题这么出的。。

这次大题没寄，只是 NO.20 换元最后没有换回来（主要是没读懂要换回来）

总分 132
小题错的有点多，再次暴露了计算能力不行的痛病
选择题 NO.3 求导求错了，NO.9 题目读假了
填空题 NO.14 在被积函数有 $x$ 时没换元直接求了
解答题 NO.20 没读懂题意，换元最后没换回来

卷五

应该是前五套里，最难的一套了，感觉很符合今年的命题风格，也预示了我要 寄 的必然结果

选择题

1. 变上限积分求极限
2. 这题做的时候没有想到正解，用的几个已知结论反向构造的
   如果 $x\to+\infty$ 时，$f’(x) = A \ne 0$，易证 $f(x) = \infty$
   故 $f’(x) = 0$，直接移项出结果
   答案是先算了微分方程通解，用变上限积分替代任意常数，然后求一个变上限积分的极限
3. 极直互化和换序
4. 导数定义 + 微分方程
5. 拐点的充分条件第三条
6. 物理应用，变化率问题
7. 答案用的拉格朗日做的，也可以直接解出定积分，还不丢失精度
8. 方程解问题
9. 相似的基本概念，以及 可逆矩阵 等价于 单位矩阵
10. 直接用合同变换做更快

全对，第二题可以回顾一下

填空题

1. 隐函数求偏导
2. 高阶导数问题，答案先求了原函数，再用级数找的高阶导数，我直接求了三阶找的规律
   回过头看这题长的确实像微分方程，应该先求原函数的
3. 隐函数和极限结合，导数定义
4. 二重积分，换序后换元
5. 可微定义，$f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) - f_x\Delta x - f_y \Delta y - f(x_0,y_0) = o(d)$
   注意到，是 $-f_y\Delta y$，前面有一个负号，我大意了
6. 短路了，没做出来，向量组的问题，利用现有等式，构造具体方程求解行列式
   $$
   AP = (A\alpha,A^2\alpha,A^3\alpha) = (A\alpha,A^2\alpha,3A\alpha - 2A^2\alpha)=(\alpha, A\alpha,A^2\alpha) \cdot \begin{pmatrix}
   0&0&0\\
   1&0&3\\
   0&1&-2
   \end{pmatrix} = PB
   $$

$$
|A - E| = |P^{-1}||A-E||P| = |P^{-1}AP - E| = |B - E|
$$

解答题

1. 求极限，导数定义，定积分
2. 物理应用，质点法yyds，再也没错过了
3. 没有任何性质的多项式，直接写答案，扣个答案分差不多了（可以考虑$L_x$、$L_y$先削掉 $\mu$）
4. 第一问分部积分，第二问出的贼呀，双中值一般都是拆区间拉格朗日，这题不是
   先积分中值，再拉格朗日，利用的是第一问中证明的等式
5. 二重积分加微分方程，出得妙啊
   左侧凑微分，给他搞出来，右侧轮换对称性干掉一个，另一个换元
6. 数学系的孩子们，直接掏出矩阵合同变换法秒了吧，非数学系的就配方法吧
   第二问没读懂，答案也看不懂，但可以确定的事，第一问合同变换搞出来的 $C$ 也满足第二问的等式
   直接令 $P = C$ 就结束了
   答案的意思估计是如果第一问求出来的 $C$，使得 $D=C^{-1}AC$ 不是对角矩阵，则可以考虑把 $D$ 通过正交变化化成 $\Lambda$，而对于新的可逆变换 $P = CQ$，有 $(QC)^{-1}BQC = C^{-1}Q^{-1}BQC = C^{-1}EC = E$
   那你下次能不能好好出题

这套大题有点难度的，板子题不多，都有一定的思维量
条件极值没去算，中值定理第二问想了巨久，主要是潜意识里一直觉得是拆区间两次拉格兰日
下次还是优先考虑通过给定等式往回推导的方法
二重积分这个是真想不到，处理 $\iint f(x+y)d\sigma$，换序肯定是没用的，因为有轮换对称性
正确做法居然是换元，令 $x+y=u$，几何上来看，由于边界是 $x+y=t$，这样的换元效果会让其中一个积分的上下限编成定值

总分 125
犯病的地方有，但分低的主要原因是几个大题没有思路
线代还是出的稀烂，但是这套有几题是真不错，说的就是 16、20、21

卷六

选择题

1. 极限 + 导数定义，两个方程两个参数

2. 极值的充分条件，可以求高阶导数，也可以用邻域直接在二阶导的时候写出答案

3. 先求导找出 $f(x)$ 的表达式，代入 $x=0$ 即为斜率，就结束了

4. 移项：$a = \frac{x^2}{e^x}$ 求导找曲线单调性，画出大值图像，找三个交点的区间

5. 数形结合快，利用凹函数的性质，切线在曲线下方

   答案用的泰勒展开做的，利用二阶导数大于零，进行放缩

6. 反常积分，利用收敛以及瑕点处的阶数，写出一个参数的值，然后求一个不定积分

7. 这题卡了好一会儿，主要是算是算出来了，被选项搞了

   这是一道经典模型，之前都是考的积分等式：$f(x)=g(x)+\int_a^b f(x)dx$

   其中，$f(x)$ 为抽象函数，题目不给出， $g(x)$ 为具体函数，题目会直接给出

   由于定积分是一个具体的数字，直接令 $A = \int_a^b f(x)dx$，在等式两侧取积分：

   $A = \int_a^b g(x)dx + A(b - a)$ 就可以反解出 $A$ 了

   然后这题就变成二重积分了：$f(x) = xy + \iint f(x)dx$

   用轮换对称性：$A = 0$，求出来后，我就蒙蔽了，因为选项都是一个倍数关系

   卡了一会儿，最后发现 C选项 偷偷藏了一个 $D$ 积分域上的函数，挺能藏

8. 实对称不能保证，正定能保证，反例答案给了

9. 特征值多项式的转换

10. $r(A) \le 3 < 4$ 一定有无穷多解

错了第一、第二题，脑子短路了，是这样的

填空题

1. 幂指函数求极限

2. 隐函数求导

3. 微分方程，一阶非齐次型，再加上旋转体体积，求出一个二次函数，找顶点问题

   犯病了，解微分方程的时候用的变量可分离方法，然后齐次换元，最后忘记换回来了

4. 旋转体体积

5. 二重积分换序

6. 口算题

第三题犯病了

解答题

1. 不等式问题，多项乘积，考虑取对数，求两下导就出来了

2. 二阶常系数非齐次微分方程，这里利用初值求参数的时候算错了一个

   然后定积分的部分很简单，显然左边分部积分一下就变成右边了

3. 二重积分，注意一下 $\theta$ 范围是 $[0, \frac{\pi}{2}]$ & $[\pi, \frac{3}{2}\pi]$

4. 数列极限，单调有界准则，这里答案证了一下有界性，我没证

   题目里说了 $f(x)$ 是定义在 $[0,1]$ 上的函数，等式又是建立在该函数上的

   那么显然有界，否则等式不成立

   证明有界性也很不难，答案用的中值定理，我惊了

   已知结论和递推关系，肯定先想到第一第二数学归纳法呀

   利用 {$x_n$} 有界，不难证明 {$x_{n+1}$} 有界（连续函数有界性）

5. 第一问高考难度；第二问一看就是定积分定义，都帮你凑好了，找一下可爱因子就好了

   放缩到 $g(x)$ 的两端，先削变量 $x$，右侧显然，左侧做的时候没想到好的方法

   看了答案发现自己确实短路了

   $\lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{k=1}^n \frac{k}{n} \cdot e^{\frac{k}{n}} \cdot \frac{1}{n+2} = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{n}{n+2} \cdot \lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n \frac{k}{n} \cdot e^{\frac{k}{n}} = 1 \cdot \displaystyle\int_0^1xe^{x}dx$

6. 送分题

大题做的不好，做的时候也挺抗拒那些计算的，写一半去看了会儿 王师傅和小毛毛

第一问去了对数，求了导，但是不想算下去了，整理式子好累。。

第二问参数求错了，答案最后就差一个系数

第五问放缩定积分定义都想到了，左边那个当时没想出来怎么处理

总分 123

题目很简单，感觉是最近学的有点累了，很多计算式子一出来，方法都懂，但是不想下笔

写完六套卷休息一天，接下来写张八高分版