常见不等式

柯西不等式

平方和积 $\ge$ 积和平方

常见形式：

$$
(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \ge (ac + bd)^2
$$

当且仅当 $\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}$ 时，等号成立

一般形式：

$$
\sum_{i=1}^n a_i^2 \times \sum_{i=1}^n b_i^2 \ge (\sum_{i=1}^n a_ib_i)^2
$$

当且仅当 $\dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2} = \dots = \dfrac{a_n}{b_n}$ 时，等号成立

积分形式：

$$
\int_a^b f^2(x)dx \cdot \int_a^b g^2(x)dx \ge \bigg(\int_a^b f(x)g(x) \bigg)^2
$$

均值不等式(算数与几何)

算术平均数 $\ge$ 几何平均数

常见形式：

$$
\frac{a^2 + b^2}{2} \ge ab
$$

当且仅当 $a = b$ 时，等号成立

一般形式：

$$
\dfrac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}{n} = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdots a_n}
$$

当且仅当 $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$ 时，等号成立

其他类型的常见不等式

$$
e^x - 1 > x > \ln(1 + x)
$$

$$
x > \sin x \quad (x > 0)
$$

$$
\dfrac{1}{1 + x} < \ln(1 + \dfrac{1}{x}) < \dfrac{1}{x} \quad(x > 0)
$$

不知道怎么分类

前两个利用做辅助函数证明单调性的方法即可证明

最后一个是某一年的真题，用 拉格朗日中值定理 证明

导数

其他求导公式

$$
\begin{matrix}
[\ln(x + \sqrt{x^2 \pm a^2})]’ = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} \quad (\text{常见} a=1)
\end{matrix}
$$

参数方程求导

$$
\dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{y’’x’ - y’x’’}{x’^3}
$$

大家都会 $\dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{d\dfrac{dy}{dx} / dt}{dx / dt}$，但出题人就是刻意刁难你，把 $\dfrac{dy}{dx}$ 弄的很复杂，不好再对 $t$ 求导

推导过程：

已知 $x = x(t), y = y(t)$，则 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y’}{x’}$（此处 $y’ = \dfrac{dy}{dt}, x’ = \dfrac{dx}{dt}$）

则 $\dfrac{d\dfrac{dy}{dx}}{dt} = \dfrac{y’’x’ - y’x’’}{x’^2}$，于是乎 $\dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{d\dfrac{dy}{dx} / dt}{dx / dt} = \dfrac{y’’x’ - y’x’’}{x’^3}$

隐函数求导

设 $F(x,y,z)$ 有连续一阶偏导数，$F_z’\ne0, z = z(x,y)$ 由 $F(x,y,z) = 0$ 所确定，则有:

公式：
$\dfrac{\partial z}{\partial x} = -\dfrac{F_x}{F_z}, \quad
\dfrac{\partial z}{\partial y} = -\dfrac{F_y}{F_z}$
等式两边求导：
$F_x + F_x\dfrac{\partial z}{\partial x} = 0 \quad
F_y + F_y\dfrac{\partial z}{\partial y} = 0
$
微分形式不变性：
$ F_x dx + F_y dy + F_z dz = 0 $

积分

其他不定积分公式

$$
\begin{matrix}
&\displaystyle \int \sec x dx = \ln|\sec x + \tan x| + C \\
&\displaystyle \int \csc x dx = \ln|\csc x - \cot x| + C \\
&\displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \arcsin \dfrac{x}{a} + C \\
&\displaystyle \int \dfrac{1}{a^2 + x^2} dx = \dfrac{1}{a} \arctan \dfrac{x}{a} + C \\
&\displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} dx = \ln|x + \sqrt{x^2 \pm a^2}| + C \\
\end{matrix}
$$

定积分公式

$$
\begin{matrix}
\displaystyle \int_0^{\pi} xf(\sin x)dx = \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx \\
\end{matrix}
$$