题目

设 $f(x)$ 在 $[-2,2]$ 上二阶可导，且 $|f(x)|\le1$，又 $[f(0)]^2 + [f’(0)]^2 = 4$

证明：$\exists \xi \in (-2, 2), s.t. f’’(\xi) + f(\xi) = 0$

解答

$$
(y^2 + y’^2)’ = 2y’(y’’ + y)
$$

故令 $F(x) = f^2(x) + f’^2(x)$，则 $F(0) = 4$

现需要凑出微分中值定理的条件，有Rolle中值定理和费马引理

由于端点信息不多（条件多是不等式关系）考虑能不能证明极值点在区间内取到

不妨用拉格朗日中值定理在分段点 $0$ 处再将估计区间缩小：

$f(0) - f(-2) = 2f’(\xi_1)$，$f(2) - f(0) = 2f’(\xi_2)$，有：

$|f’(\xi_1)| = |\dfrac{f(0) - f(-2)}{2}| \le \dfrac{|f(0)| + |f(-2)|}{2} \le 1$

$|f’(\xi_2)| = |\dfrac{f(2) - f(0)}{2}| \le \dfrac{|f(2)| + |f(0)|}{2} \le 1$

则在端点 $\xi_1$ 处，$F(\xi_1) = f^2(\xi_1) + f’^2(\xi_1) \le 1 + 1 = 2$，$\xi_2$ 同理

又 $F(0) = 4 > 2$，故最大值不在区间 $[\xi_1,\xi_2]$ 的端点处取到，只能在区间内部的极大值点取到

不妨设该点为 $\xi$，由 Fermat 引理：$F’(\xi) = 0$，即 $f’(\xi)(f’’(\xi) + f(\xi))$ = 0

还需证明处该点处，$f’(\xi)$ 不为零才能得证，可以用反证法：假设 $f’(\xi) = 0$

则有：$F(\xi) = f^2(\xi) + f’^2(\xi) < 2 < F(0)$ 与 $\xi$ 是极大值点矛盾

故 $f’(\xi) \ne 0$，得证：$f’’(\xi) + f(\xi) = 0$