题目

曲线：$y = e^{\frac{1}{x}}\sqrt{1+x^2}$ 的渐进线条数

解答

铅锤渐近线：$x=0$

没有水平，找斜渐近线可以考虑泰勒展开:

$$
\begin{aligned}
e^{\frac{1}{x}}\sqrt{1+x^2} &= |x|e^{\frac{1}{x}}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}
\\
&= |x|(1+\frac{1}{x} + o(\frac{1}{x}))(1+\frac{1}{2x^2} + o(\frac{1}{x^2}))
\\
&= |x|(1+\frac{1}{x} + o(\frac{1}{x}))
\\
&= |x|+\frac{|x|}{x}+o(\frac{|x|}{x})
\end{aligned}
$$

故有些渐进线：$y = x + 1$ 和 $y = -x - 1$

共三条