第378题 | 知识点：函数极值

题目

设 $f(x) = \displaystyle\int_0^x t|x-t|dt - \dfrac{x^2}{6}$，试求：

（1）函数 $f(x)$ 的极值和曲线 $y = f(x)$ 的凹凸区间及拐点

（2）曲线 $y = f(x)$ 与 $x$ 轴围成的区域的面积及绕 $y$ 轴旋转所得旋转体的体积

解答

有绝对值，先去绝对值，写出函数的分段：$f(x) = \begin{cases}
\displaystyle\int_0^x (tx-t^2) dt - \dfrac{x^2}{6} & x \ge 0 \\
\displaystyle\int_0^x (t^2-tx) dt - \dfrac{x^2}{6} & x \lt 0
\end{cases}$

被积函数幂函数，不妨直接积分出来，有：$f(x) = \begin{cases}
\dfrac{1}{6}x^3 - \dfrac{1}{6}x^2 & x \ge 0 \\
-\dfrac{1}{6}x^3 - \dfrac{1}{6}x^2 & x \lt 0
\end{cases}$

求导 并配合 导数定义，有：$f’(x) = \begin{cases}
\dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{3}x & x \ge 0 \\
-\dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{3}x & x \lt 0
\end{cases}$，有 驻点 $x = 0, \pm\dfrac{2}{3}$

易得有极大值 $f(0) = 0$，极小值 $f(\dfrac{2}{3}) = -\dfrac{2}{81}, f(-\dfrac{2}{3}) = -\dfrac{2}{81}$

再求一阶导并配合 导数定义 有： $f’’(x) = \begin{cases}
x - \dfrac{1}{3} & x \gt 0 \\
-x - \dfrac{1}{3}& x \lt 0
\end{cases}$，易得拐点 $(\dfrac{1}{3}, -\dfrac{1}{81}), (-\dfrac{1}{3}, -\dfrac{1}{81})$

体积可以直接用面积微元法：

$$
\begin{aligned}
V = 2\pi \iint\limits_D |x| d\sigma = 2\pi \int_{0}^{1}dx\int_{f(x)}^0 x dy =
\dfrac{1}{3}\pi \int_0^1 (x^3 - x^4)dx = \dfrac{1}{60}\pi
\end{aligned}
$$