题目

设 $f(x)$ 二阶可导，且 $f(1) = 6$，$f’(1) = 0$，且当 $x \ge 1$ 时，$x^2f’’(x) - 2xf’(x) - 5f(x) \ge 0$

证明：当 $x \ge 1$ 时，$f(x) \ge x^5 + \dfrac{5}{x}$

解答

利用不等式，找原函数构造辅助函数，然后利用单调性求解不等式

由于 $x^2f’’(x) - 2xf’(x) - 5f(x) = x^2f’’(x)+2xf’(x) - (5xf’(x) + 5f(x))$

可得原函数为：$F(x) = x^2f’(x) - 5xf(x)$，则 $F’(x) \ge 0$，函数 $F(x)$ 单调递增

又 $F(1) = -30$，故 $F(x) \ge -30$ $\quad\Rightarrow\quad$ $x^2f’(x) - 5xf(x) + 30\ge 0$

不等式两侧同除 $x^2$ 化简不等式：$y’ - \dfrac{5}{x} y + \dfrac{30}{x^2} \ge 0$

观察到 $y’ - \dfrac{5}{x} y$ 可以用积分因子还原到：$y \cdot x^{-5}$：$y’x^{-5} - \dfrac{5}{x^6}y + \dfrac{30}{x^7} = (yx^{-5} - \dfrac{5}{x^6} + C)’ \ge 0$

在结论中凑出来即可证明完毕：

令 $G(x) = yx^{-5} - 5 x^{-6} - 1$，则 $G(1) = 0$

$G’(x) = y’x^{-5} -\dfrac{5}{x^6}y + \dfrac{30}{x^7} = \dfrac{1}{x^5}(y’ - \dfrac{5}{x}y + \dfrac{30}{x^2}) \ge 0$

于是 $G(x)$ 单调递增，故 $G(x) \ge G(1) = 0$

$\mathbf{QED}$