题目

设 $f(x)$ 是可微函数，当 $0 < a < x < b$ 时，恒有 $xf’(x) < 2f(x)$，则

（A）$a^2f(x) > x^2f(a)$

（B）$b^2f(x) > x^2f(b)$

（C）$xf(x) < bf(b)$

（D）$xf(x) > af(a)$

解答

屑题，构造函数求导找单调性即可

A/B 选项：令 $F(x) = \dfrac{f(x)}{x^2}$，则 $F’(x) = \dfrac{f’(x)x - 2f(x)}{x^3}$

又 $x > 0$ & $xf’(x) < 2f(x)$，故 $F’(x) < 0$ $\quad\Rightarrow\quad$ $F(x)$ 单调递减

于是有 $F(a) > F(x) > F(b)$，故 $x^2f(a) > a^2f(x)$，$b^2f(x) > x^2f(b)$

故正确选项为 $\mathbf{B}$