第375题 | 知识点：方程的根

题目

设有方程 $a^x = bx (a>1)$，则下列结论不正确的是

（A）当 $b < 0$ 时原方程有唯一实根

（B）当 $0 < b < 2\ln a$ 时原方程无实根

（C）当 $b = 3\ln a$ 时原方程有唯一实根

（D）当 $b > 3\ln a$ 时原方程有两实根

解答

令 $F(x) = a^x - bx$，于是原方程有根问题，就化归到函数 $F(x)$ 有零点问题

求导找单调性：$F’(x) = \ln a \cdot a^x - b, F’’(x) = \ln^2 a \cdot a^x$

由于 $a > 1$，故 $\ln a > 0$ $\quad\Rightarrow\quad$ $F’’(x) > 0$

故 $F’(x)$ 单调递增，又 $F’(-\infty) = -b$，$F’(+\infty) = +\infty$

（1）若 $-b < 0$，即 $b > 0$，则可由推广的零点定理可得：$F’(x)$ 存在唯一零点

则可知 $F(x)$ 先单调递减，后单调递增，令 $F’(x) = 0$，易得极小值点：$x = \dfrac{\ln \dfrac{b}{\ln a}}{\ln a}$

由于该极值点为唯一极值点，根据已知结论可知，其为区间上的最小值点

令 $F(x) < 0$，有 $b > e\ln a$，方程有两个零点；反之 $0 < b < e\ln a$ 时，方程无零点

$b = e\ln a$ 时，函数有唯一零点

（2）若 $-b > 0$，即 $b < 0$，则 $F’(x) > 0$，即 $F(x)$ 单调递增

又 $F(-\infty) = - \infty < 0, F(+\infty) = +\infty > 0$，由零点定理，有唯一零点

综上，经过函数性态分析可得，错误结论为：$\mathbf{C}$