题目

设 $f(x) = \begin{cases}
\dfrac{x-\sin x}{x^3} &,x\ne0\\
a&,x=0
\end{cases}$ 处处连续，则 $f’’(0) = $

解答

求一点处的高阶导数，可以用泰勒展开或洛必达

本题不妨把 $f(x)$ 在 $x=0$ 处泰勒展开：

$$
f(x) = \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{120}x^2 + o(x^2)
$$

故 $a = f(0) = \dfrac{1}{6}, f’(0) = 0, f’’(0) = -\dfrac{1}{60}$