题目

设 $x = \displaystyle\int_0^1 e^{tu^2}du, y = y(t)$ 由方程 $t - \displaystyle\int_1^{y+t}e^{-u^2}du=0$ 所确定，求

(1) $y’_{t}(0), y’’_t(0), x’_t(0), x’’_t(0)$

(2) $y’_x(0), y’’_x(0)$

解答

隐函数问题，先确定初值：$y|_{t=0} = 1$，然后方程两侧关于 $t$ 求导：

$$
1 - (y’+1) e^{-(y+t)^2} = 0 \quad\Rightarrow\quad y’= e^{(y+t)^2} - 1
$$

代入可得： $y’|_{t=0}= e-1$，再求一次导：

$$
y’’ = 2e^{(y+t)^2} \cdot (y+t) \cdot (y’ + 1)
$$

代入可得：$y’’|_{t=0} = 2e^2$

对于 $x$ 的方程很难直接求导，需要换元分段，不妨试试求解高阶导数的方法之一：泰勒展开

$$
x = \displaystyle\int_0^1 tu^2 + \dfrac{1}{2}t^2u^4 + o(t^2u^4) du = \dfrac{1}{3}t + \dfrac{1}{10}t^2 + o(t^2)
$$

于是有 $x’(0) = \dfrac{1}{3}$，$x’’(0) = \dfrac{1}{5}$

第二问直接用公式即可：$\dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{y’’x’-y’x’’}{x’^3}$

$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{e-1}{1/3} = 3e-3$，$\dfrac{d^2y}{dx^2} = 27 \cdot (\dfrac{2}{3}e^2 - \dfrac{1}{5}(e-1)) = 18e^2 - \dfrac{27}{5}(e-1)$