第370题 | 知识点：知识点：导数训练（一）

题目

下列命题成立的是（ ）

（A）若 $\lim\limits_{x\to0}\varphi(x)=0$，且 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f[\varphi(x)] - f(0)}{\varphi(x)}$ 存在，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导

（B）若 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且 $\lim\limits_{x \to 0}\varphi(x) = 0$，则 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f[\varphi(x)]-f(0)}{\varphi(x)} = f’(0)$

（C）若 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(\sin x) - f(0)}{\sqrt{x^2}}$ 存在，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导

（D）若 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(\sqrt[3]{x})-f(0)}{\sqrt{x^2}}$ 存在，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导

解答

（A）选项 显然错误，反例：$\varphi(x) = x^2$ 只能说明存在右导数

（B）选项 显然错误，反例：$\varphi(x) \equiv 0$，等式不成立

（C）选项 先凑导数定义看看：

$$
\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(\sin x) - f(0)}{\sqrt{x^2}} =
\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(\sin x) - f(0)}{\sin x} \cdot \dfrac{\sin x}{|x|} =
\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(\sin x) - f(0)}{\sin x} \cdot \dfrac{x}{|x|}
$$

$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x}{|x|}$ 有界，不一定要用 $0$ 去抵消，可以考虑反向构造一个可以抵消正负号的极限即可

欲使极限存在，且导数定义的极限不存在，构造反例：$f_{+}’(0)=1, f_{-}’(0)=-1$

有 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(\sin x) - f(0)}{\sin x} \cdot \dfrac{x}{|x|} = 1$ 极限存在，且导数不存在

（D）选项 先凑导数定义看看：

$$
\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(\sqrt[3]{x})-f(0)}{\sqrt{x^2}} =
\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(\sqrt[3]{x})-f(0)}{\sqrt[3]{x}} \cdot \dfrac{\sqrt[3]{x}}{|x|}
$$

显然 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt[3]{x}}{|x|}$ 无界振荡，欲使极限存在，则必然有：$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(\sqrt[3]{x})-f(0)}{\sqrt[3]{x}} = 0$，即 $f’(0) = 0$

因此答案选择 $(\mathbf{D})$ 选项