题目

设 $f(x) = \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2e^{(n+1)x} + 1}{e^{nx}+x^n+1}$，求 $f(x)$ 的间断点

解答

严选题 P3 No.18

常用极限结论：$\lim\limits_{n\to\infty} e^{nx} = \begin{cases}
\infty & x > 0 \\
1 & x = 0\\
0 & x < 0
\end{cases}$，以及 $\lim\limits_{n\to\infty} x^n = \begin{cases}
\infty & |x| > 1 \\
0 & |x| < 1 \\
1 & x = 1\\
\not\exists & x = -1
\end{cases}$，还有常用不等式：$e^x - 1 > x$

$x > 0$ 时：$f(x) = \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2e^{x} + \dfrac{1}{e^{nx}}}{1+(\dfrac{x}{e^x})^n+\dfrac{1}{e^{nx}}} = 2e^x$

$x = 0$ 时：$f(x) = \dfrac{3}{2}$

$-1 < x < 0$ 时：$f(x) = 1$

$x < -1$ 时：$f(x) = \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{1}{x^n + 1} = 0$

故 $f(x) = \begin{cases}
0 & x < -1 \\
1 & -1 < x < 0 \\
\dfrac{3}{2} & x = 0 \\
2e^x & x > 0
\end{cases}$

故有两个跳跃间断点 $x = -1, x = 0$