题目

设 $p(x) = a + bx + cx^2 + dx^3$，且当 $x\to 0$ 时，

$p(x) - \ln(x + \sqrt{1 + x^2})$ 是比 $x^3$ 高阶的无穷小，则（ ）

（A）$a = 1$
（B）$b = 2$
（C）$c = 3$
（D）$d = -\frac{1}{6}$

解答

常用展开：$\ln(x+\sqrt{1+x^2}) = x - \dfrac{1}{6}x^3 + o(x^3)$

正常做，直接用抽象泰勒展开即可

但是这题是选择题，应该用选择题的技巧

首先 $\ln(x + \sqrt{1 + x^2})$ 是奇函数，故 $c = 0$

又 $\ln(x + \sqrt{1 + x^2}) \sim x$ ，故 $a = 0, b = 1$

A、B、C 全部划掉，这题选 （D）

加餐题目

设 $f(x) = x + a\ln(a + x) + \dfrac{bx\sin x}{1+x^2}, g(x) = kx^3$

若 $f(x)$ 与 $f(x)$ 在 $x\to 0$ 时是等价无穷小，求参数.

解答

泰勒展开：

$$
a\ln(1 + x) = ax - \dfrac{a}{2}x^2 + \dfrac{a}{3}x^3 + o(x^3)
$$

$$
\dfrac{1}{1 + x^2} = 1 - x^2 + x^4 + o(x^4)
$$

$$
x\sin x = x^2 - \dfrac{1}{6}x^4 + o(x^4)
$$

$$
\dfrac{bx\sin x}{1+x^2} = bx^2 + o(x^3)
$$

$$
f(x) = x + ax - \dfrac{a}{2}x^2 + \dfrac{a}{3}x^3+ bx^2 + o(x^3) = (1 + a)x + (b - \dfrac{a}{2})x^2 + \dfrac{a}{3}x^3 + o(x^3)
$$

故 $a = -1, b = -\dfrac{1}{2}, k = -\dfrac{1}{3}$