第366题 | 知识点：极限冲刺训练（十一）

题目

设 $f(x)$ 有连续一阶导数，且 $0 < f’(x) \le \dfrac{\ln(2 + x^2)}{2(1+x^2)}$

数列 $x_0 = a, x_n = f(x_{n-1}), n = 1, 2, \cdots$.

证明：极限 $\lim\limits_{n\to\infty} x_n$ 存在且是方程 $f(x) = x$ 的唯一实根.

解答（逆用牛顿莱布尼茨公式）

由于 $f’(x) > 0$，则数列 {$x_n$} 单调，又

$$
\begin{aligned}
|x_n| &= |f(x_{n-1})| = |f(x_0) + f(x_{n-1}) - f(x_0)| = |f(x_0) + \displaystyle\int_{x_0}^{x_{n-1}}f’(x)dx|
\\
& \le
|f(x_0)| + |\displaystyle\int_{x_0}^{x_{n-1}}f’(x)dx|
\le
|f(x_0)| + |\displaystyle\int_{x_0}^{x_{n-1}}\dfrac{\ln(2 + x^2)}{2(1+x^2)}dx|
\\
& \le
|f(x_0)| + |\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{\ln(2 + x^2)}{2(1+x^2)}dx|
\end{aligned}
$$

易知 $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{\ln(2 + x^2)}{2(1+x^2)}dx$ 收敛（比较在广义瑕点的阶）

由单调有界准则：{$x_n$} 收敛，故 $\lim\limits_{n\to\infty} x_n$ 存在

令 $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = A$，则有 $A = f(A)$，故 $x = A$ 是 $f(x) = x$ 的一个解

于是 $f(x) = x$ 至少有一个解，现证明至多有一个解

令 $F(x) = f(x) - x$，则 $0 < F’(x) = f’(x) - 1 \le \dfrac{\ln(2 + x^2)}{2(1+x^2)} < 1$，故 $F(x)$ 单调递增

所以 $F(x)$ 至多有一解，综上 $x = A$ 为 $f(x) = x$ 的唯一解