题目

设数列 {$x_n$}，已知 $\lim\limits_{n\to\infty}(x_{n+1} - x_n) = 0$，则下列结论正确的是（）

（A）{$x_n$} 必收敛；

（B）若 {$x_n$} 单调，则 {$x_n$} 必收敛；

（C）若 {$x_n$} 有界，则 {$x_n$} 必收敛；

（D）若 {$x_{3n}$} 收敛，则 {$x_n$} 必收敛；

解答

（A）选项

显然错，$\lim\limits_{n\to\infty}(x_{n+1} - x_n) = 0$，可能是 “$\infty - \infty$” 型

例如：$x_n = \sqrt{n}$，$\lim\limits_{n\to\infty}(x_{n+1} - x_n) = \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} = \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = 0$

（B）选项

显然错，反例：$x_n = \sqrt{n}$

（C）选项

错误，反例：$\sin\sqrt{n}$

$\lim\limits_{n\to\infty}(x_{n+1} - x_n) \rightarrow \lim\limits_{x\to+\infty}(\sin\sqrt{x + 1} - \sin\sqrt{x}) =
-\lim\limits_{x\to+\infty}\cos\sqrt{\xi} \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{\xi}} = 0$

（D）选项

正确，$\lim\limits_{n\to\infty}x_{3n} \xlongequal[\text{令}]{\text{存在}} A$，则 $\lim\limits_{n\to\infty}(x_{3n+1} - x_{3n}) = \lim\limits_{n\to\infty}x_{3n+1} - \lim\limits_{n\to\infty}x_{3n} = 0$ $\Rightarrow$ $\lim\limits_{n\to\infty}x_{3n+1} = A$

同理 $\lim\limits_{n\to\infty}x_{3n+2} = A$，则所有子列都收敛到同一个值 $\Rightarrow$ 原数列也收敛该值