题目

下列结论中正确的是

（A）若 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n = 0$，且 $\lim\limits_{n\to\infty} f(x_n) = A$，则 $\lim\limits_{x\to0}f(x) = A$

（B）若 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n = 0$，且 $\lim\limits_{x\to0} f(x) = A$，则 $\lim\limits_{n\to\infty} f(x_n) = A$

（C）若 $\lim\limits_{n\to\infty}f(n) = A$，则 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x) = A$

（D）若 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x) = A$，则 $\lim\limits_{n\to\infty}f(n) = A$

解答

（A）选项

显然不对，我们直接构造分段函数 $f(x) = \begin{cases}
A & x\in x_n \\
1 & x\not\in x_n
\end{cases}$

则 $\lim\limits_{n\to\infty} = f(x_n) = A$，且 $\lim\limits_{x\to0}f(x) \not \exists$

（B）选项

错误，$\lim\limits_{x\to0} f(x) = A$ 说的是去心邻域情况，故我们可以挖空 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处的定义

然后令 $x_n \equiv 0$，则 $f(x_n) = f(0)$ 显然无意义

如果这题限制 $f(x)$ 必须在 $x=0$ 邻域内有定义，则可以让 $x=0$ 为可去间断点

（C）选项

显然不对，构造分段函数 $f(x) = \begin{cases}
A & x \in \mathbf{N} \\
x & x\not\in \mathbf{N}
\end{cases}$

（D）选项

显然正确，海涅准则：收敛函数 $\Leftrightarrow$ 任意子列都收敛