第363题 | 知识点：极限冲刺训练（八）

题目

$$
\lim_{n\to\infty} [\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{n^2 + k^2}}]^n
$$

解答

幂指函数化成指对数，单独处理指数部分：

$$
A = \lim_{n\to\infty} n \ln \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{n^2 + k^2}}
$$

单独观察对数部分，由于 $k$ 与 $n$ 是同一个数量级的 $o(n^2)$，故考虑定积分定义

$$
\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{n^2 + k^2}} =
\lim_{n\to\infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{1 + \dfrac{k^2}{n^2}}} = \int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}dx = \ln(1+\sqrt{2})
$$

由于该结果是非零因式，直接代入指数的极限中：

$$
A = \lim_{n\to\infty} n \ln \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{n^2 + k^2}} =
\ln\ln(1+\sqrt{2}) \cdot \lim_{n\to\infty} n
$$

由于 $1 < 1 + \sqrt{2} < e$，故 $\ln(1 + \sqrt{2}) < 1$，因此 $\ln\ln(1+\sqrt{2}) < 0$

由此可知：$A = - \infty$

故原极限为：$e^A = 0$