题目

$$
\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n(1-\dfrac{k}{n})\ln(1+\dfrac{k}{n^2})
$$

解答

无限项的合式极限，考研范围内只需要掌握的两种方法：

放缩夹逼
定积分定义

本题形式很像是 定积分定义，但是怎么都凑不出想要的形式

这时又看见了 $\ln(1 + x)$ 的因式，故想到一个常见不等式 $\dfrac{x}{x+1}<\ln(1 + x) < x$

$$
\begin{aligned}
\frac{\dfrac{k}{n^2}}{\dfrac{k}{n^2} + 1} \lt &\ln(1+\dfrac{k}{n^2}) \lt \dfrac{k}{n^2}
\\
\frac{k}{n^2 + k} \lt &\ln(1+\dfrac{k}{n^2}) \lt \dfrac{k}{n^2}
\\
(1 - \dfrac{k}{n}) \cdot \frac{k}{n^2 + k} < &(1-\dfrac{k}{n})\ln(1+\dfrac{k}{n^2}) < (1 - \dfrac{k}{n}) \cdot \dfrac{k}{n^2}
\\
\dfrac{k}{n^2 + k} - \dfrac{k^2}{n^3 + nk} < &(1-\dfrac{k}{n})\ln(1+\dfrac{k}{n^2}) < \dfrac{k}{n^2} - \dfrac{k^2}{n^3}
\end{aligned}
$$

右侧可以用定积分定义，左边放缩分母继续夹逼

右侧：

$$
\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n(\dfrac{k}{n^2} - \dfrac{k^2}{n^3}) =
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n (\dfrac{k}{n} - \dfrac{k^2}{n^2}) = \int_0^1 (x - x^2)dx = \dfrac{1}{6}
$$

左侧：

$$
\begin{aligned}
\frac{k}{n^2 + n} < &\frac{k}{n^2 + k} < \frac{k}{n^2}
\\
\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2 + n} < &\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2 + k} < \sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}
\\
\frac{\dfrac{n(n+1)}{2}}{n^2 + n} < &\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2 + k} < \frac{\dfrac{n(n+1)}{2}}{n^2}
\\
\dfrac{1}{2} < &\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2 + k} < \dfrac{1}{2}
\\
\end{aligned}
$$

同理：

$$
\begin{aligned}
\dfrac{k^2}{n^3 + n^2} < &\dfrac{k^2}{n^3 + nk} < \dfrac{k^2}{n^3}
\\
\sum_{k=1}^n\dfrac{k^2}{n^3 + n^2} < &\sum_{k=1}^n\dfrac{k^2}{n^3 + nk} < \sum_{k=1}^n\dfrac{k^2}{n^3}
\\
\dfrac{\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{n^3 + n^2} < &\sum_{k=1}^n\dfrac{k^2}{n^3 + nk} < \dfrac{\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{n^3}
\\
\dfrac{1}{3} < &\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\dfrac{k^2}{n^3 + nk} < \dfrac{1}{3}
\\
\end{aligned}
$$

故：$\lim\limits_{n\to\infty}(\dfrac{k}{n^2 + k} - \dfrac{k^2}{n^3 + nk}) = \dfrac{1}{6}$

于是有：

$$
\dfrac{1}{6} < \lim\limits_{n\to\infty}(1-\dfrac{k}{n})\ln(1+\dfrac{k}{n^2}) < \dfrac{1}{6}
$$

由夹逼准则可得：$\lim\limits_{n\to\infty}(1-\dfrac{k}{n})\ln(1+\dfrac{k}{n^2}) = \dfrac{1}{6}$