第357题 | 知识点：极限冲刺训练（二）

题目

$$
\lim_{x\to0^+} \bigg( \dfrac{x}{(e^x-1)\cos\sqrt{x}} \bigg)^{\dfrac{1}{(1+\sin x^2)^{\frac{1}{x}}-1}}
$$

解答

幂指函数求极限，先取指对数，然后单独处理指数部分

$$
\begin{aligned}
&
\lim_{x\to0^+} \dfrac{\ln(\dfrac{x}{(e^x-1)\cos\sqrt{x}})}{(1+\sin x^2)^{\frac{1}{x}}-1}
\\
=&
\lim_{x\to0^+} \dfrac{x - (e^x-1)\cos\sqrt{x}}{[(e^x-1)\cos\sqrt{x}](1+\sin x^2)^{\frac{1}{x}}-1}
\\
=&
\lim_{x\to0^+} \dfrac{x - (e^x-1)\cos\sqrt{x}}{x^2}
\end{aligned}
$$

分子是加减法，且在加号处直接拆开精度不够，可以考虑 加减交叉项，或考虑 泰勒展开

$$
(e^x - 1) \cdot \cos\sqrt{x} = [x + \dfrac{1}{2}x^2 + o(x^2)][1 - \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{24}x^2 + o(x^2)] = x - \dfrac{1}{2}x^2+ \dfrac{1}{2}x^2 + o(x^2)
$$

故极限 $ = \lim\limits_{x\to0^+} \dfrac{o(x^2)}{x^2} = 0$

原极限 $ = e^0 = 1$