第356题 | 知识点：极限冲刺训练（一）

题目

已知 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^xf(x)+\sin x}{x^2} = 1$，求 $\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{f(x) + \sin x}{x^2}$

解答

像这种已知极限，反求抽象函数，最好的方法是 等式脱帽法，其次是 泰勒展开 配凑

由 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^xf(x)+\sin x}{x^2} = 1 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{e^xf(x)+\sin x}{x^2} = 1 + \alpha \quad$ 其中 $\lim\limits_{x\to0} \alpha = 0$

$$
e^xf(x)+\sin x = x^2 + o(x^2) \quad \Rightarrow \quad f(x) = \dfrac{x^2 - \sin x + o(x^2)}{e^x}
$$

代入所求极限：

$$
\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{f(x) + \sin x}{x^2} =
\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{x^2 - \sin x + e^x\sin x}{e^xx^2}
$$

对于没有 抽象函数 在的极限，我们的手段就很多了，这里既可以 拆项 做，也可以 洛必达

$$
\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{x^2 - \sin x + e^x\sin x}{x^2} =
\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{x^2}{x^2} +
\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin x(e^x - 1)}{x^2} =
2
$$