第338题 | 知识点：常微分方程习题训练（五）

题目

设 $f(x)$ 为 $[0,+\infty)$ 上的正值连续函数，已知曲线 $y=\int_0^x f(u)du$ 和 $x$ 轴

及直线 $x=t(t>0)$ 所围区域绕 $y$ 轴旋转所得体积与曲线 $y=f(x)$ 和两坐

标轴及直线 $x=t(t>0)$ 所围区域的面积之和为 $t^2$，求曲线 $y = f(x)$ 方程

解答

微分方程的几何应用，按照题目要求，列出式子，最后建立方程求解即可

$$
V = 2\pi\iint\limits_{D_1}xd\sigma = 2\pi\int_0^tdx\int_0^{\int_0^xf(u)du} xdy = 2\pi\int_0^tx\int_0^xf(u)dudx
$$

$$
S = \int_0^t f(u)du
$$

$$
t^2 = V + S \quad\Rightarrow\quad 2\pi\int_0^tx\int_0^xf(u)dudx + \int_0^t f(u)du = t^2
$$

该式对两侧求导，然后令变上限积分函数 $g(x) = \int_0^x f(u)du$，则 $g(0) = 0$

$$
2\pi t\int_0^t f(u)du + f(t) = 2t \quad\Rightarrow\quad y’ + 2\pi xy = 2x
$$

此为 变量可分离型 微分方程：

$$
\frac{dy}{\pi y - 1} = -2xdx
\quad\Rightarrow\quad
\ln(\pi y - 1) = - \pi x^2 + C_1
\quad\Rightarrow\quad
y = \frac{1}{\pi} (Ce^{-\pi x^2} + 1)
$$

代入初值：$y(0) = \dfrac{1}{\pi} (C + 1) = 0 \quad\Rightarrow\quad C = -1
\quad\Rightarrow\quad
y = \dfrac{1}{\pi} (1 - e^{-\pi x^2})
$

两侧对 $x$ 求导，便可得出最终答案：

$$
f(x) = 2xe^{-\pi x^2}
$$