第337题 | 知识点：常微分方程习题训练（四）

题目

设函数 $f(x)$ 可导，且对任意实数 $x,h$ 满足 $f(x+h) = \int_x^{x+h}t[f(t+h)+t^2]dt + f(x)$

$\lim\limits_{x\to0}[1+f(x)]^{\frac{1}{x^4}} = a$ ，求 $f(x)$ 的表达式及常数 $a$

解答

求 $f(x)$ 的表达式，考虑微分方程；题目又给了 $f(x+h)$ 的表达式，考虑导数定义来构造方程

$$
f’(x) = \lim_{h\to0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} =
\lim_{h\to0}\frac{\int_x^{x+h} t[f(t+h)+t^2]dt }{h} = xf(x)+x^3
$$

得到微分方程：$y’ - xy = x^3$ 为 一阶线性微分方程

$$
y = e^{\int xdx} \cdot \Big[ \int x^3 e^{\int-xdx} dx + C_1 \Big] =
-e^{\frac{1}{2}x^2} \cdot (x^2 e^{-\frac{1}{2}x^2} + 2e^{-\frac{1}{2}x^2} + C_2) =
-x^2 - 2 + Ce^{\frac{1}{2}x^2}
$$

下面这一步是错的，事实上 $f(x) = -0.5 \Rightarrow a = 0.5^{+\infty} = 0$ 极限也是存在的
这题就是错题，需要额外添加条件 $a > 0$ 且 $a \ne 1$

又 $\lim\limits_{x\to0}[1+f(x)]^{\frac{1}{x^4}} = a$ 存在，故 $f(0) = 0 \quad\Rightarrow\quad C = 2 \quad\Rightarrow\quad y = -x^2 - 2 + 2e^{\frac{1}{2}x^2}$

$$
\begin{aligned}
& \lim_{x\to0}[1+f(x)]^{\frac{1}{x^4}} \\
= & \lim_{x\to0} (-x^2 - 1 + 2e^{\frac{1}{2}x^2})^{\frac{1}{x^4}} \\
= & \exp[ \lim_{x\to0}\frac{-x^2-2+2e^{\frac{1}{2}x^2}}{x^4} ] \\
= & \exp[ \lim_{x\to0}\frac{\dfrac{1}{4}x^4 + o(x^4)}{x^4} ] \\
= & \exp[ \frac{1}{4} ] \\
\end{aligned}
$$

故 $a = e^\frac{1}{4}$