题目

设函数 $f(x)$ 二阶可导，且 $f’(x) = f(1-x),f(0) = 1$，求 $f(x)$

解答

换元：$f’(1-x) = f(x) \quad \Rightarrow \quad f’(1) = f(0) = 1$

再求导：$f’’(x) = -f’(1 - x)$

联立两式：$f’’(x) + f(x) = 0$ 为 二阶常系数齐次微分方程

特征根：$\lambda^2 + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad \lambda = 0 \pm i$

齐次通解：$y = C_1\cos x + C_2 \sin x \quad \Rightarrow \quad y’ = C_2\cos x - C_1\sin x$

代入初值：$y(0) = C_1 = 1$, $y’(1) = C_2\cos 1 - \sin 1 = 1 \quad \Rightarrow \quad C_2 = \dfrac{1 + \sin 1}{\cos 1}$

综上所述：$f(x) = \cos x + \dfrac{1 + \sin 1}{\cos 1} \cdot \sin x$