第335题 | 知识点：常微分方程习题训练（二）

题目

设 $f(x)$ 是可导函数，且 $f(0) = 0, g(x) = \int_0^1xf(tx)dt$，并满足方程 $f’(x)+g’(x)=x$，

求由曲线 $y=f(x), y = e^{-x}$ 及直线 $x=0,x=2$ 围成的平面图形的面积

解答

先对 $g(x)$ 的 自变量 和 积分变量 进行分离，令 $tx = u$，则 $xdt = du, g(x) = \int_0^x f(u)du$

故 $g’(x) = f(x)$ 代入方程得：$f’(x) + f(x) = x$ 为 一阶线性微分方程，写出通解：

$$
f(x) = e^{-\int 1 dx} \cdot \big[\int x \cdot e^{\int 1dx}dx + C\big] =
e^{-x} \cdot\big[ xe^x - e^x + C \big] = x - 1 + Ce^{-x}
$$

代入初值：$f(0) = C - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad C = 1$

剩余问题为，求解：由曲线 $y=x-1+e^{-x}, y = e^{-x}$ 及直线 $x=0,x=2$ 围成的平面图形的面积

该图像不是很好绘制，但是可以明显观察到，$y_1 < y_2 (x < 1), y_1 > y_2(x > 1)$

故我们可以意象出他的一个曲边梯形模样，直接套对应区间的定积分公式即可：

$$
\begin{aligned}
& \quad \int_0^2 |y_1 - y_2|dx \\
=&\quad
\int_0^1(y_2-y_1)dx + \int_1^2(y_1-y_2)dx
\\
=&\quad
\int_0^1 (1-x) dx + \int_1^2 (x - 1) dx
\\
=&\quad
(x - \frac{1}{2}x^2) \bigg|_0^1 + (\frac{1}{2}x^2 - x) \bigg|_1^2
\\
=&\quad
\frac{1}{2} + \frac{1}{2}
\\
=&\quad
1
\\
\end{aligned}
$$