第334题 | 知识点：常微分方程习题训练（一）

题目

$$
\text{可微函数} f(x) \text{满足} f’(x) = f(x) + \int_0^1f(x)dx\text{，且} f(0) = 1\text{，求} f(x)
$$

解答

看见求原函数 $f(x)$ 那只有一条途径：微分方程

所给的 方程 中含有 定积分，做法一般都是先把 定积分 令为 常数 $A$ 从而化简运算

令 $\int_0^1f(x)dx = A$，则有微分方程：$y’ - y = A$，变量可分离型：$\dfrac{dy}{dx} = A + y$

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\frac{dy}{A+y} = dx \quad\Rightarrow\quad \ln(A+y) = x + C \quad\Rightarrow\quad
y = Ce^x - A
$$

对 $y$ 在 $(0,1)$ 上进行积分：

$$
A = C\int_0^1e^xdx - A \quad\Rightarrow\quad A = \frac{C(e - 1)}{2}
$$

代入初值 $y(0) = 1$：

$$
1 = C - \frac{C(e - 1)}{2} \quad\Rightarrow\quad 2 = C \cdot (2 - e + 1) \quad\Rightarrow\quad C = \frac{2}{3-e}
$$

$$
\text{综上所述：} f(x) = \frac{2e^x - e + 1}{3-e}
$$