第333题 | 知识点：二重积分训练 (七)

题目

$D = \{(x,y)||x| + |y| \le \dfrac{\pi}{2}\}$，比较积分大小：

$$
I_1=\iint\limits_D(2x^2+\tan(xy^2))d\sigma,I_2=\iint\limits_D(x^2y+2\tan y^2)d\sigma,I_3=\iint\limits_D(|xy|+y^2)d\sigma
$$

解答

相同积分域 的 积分比大小，只需比较 被积函数 大小即可

本题积分域同上题，是由 四条直线 围成的 正方形区域

由于 被积函数 过于复杂，考虑利用 对称性 和 奇偶性 进行 化简，显然图像关于 $x,y$ 轴对称

而剩余部分都是关于 $x,y$ 的偶函数，直接对称到第一象限，从而去掉绝对值

$$
I_1 = 4\iint\limits_{D_1} 2x^2 d\sigma，I_2 = 4\iint\limits_{D_1} 2\tan y^2 d\sigma，I_3 = 4\iint\limits_{D_1} (xy+y^2) d\sigma
$$

观察积分域 $D$，具有明显的 轮换对称性，又根据 $I = \dfrac{1}{2}\iint\limits_D[f(x,y)+f(y,x)]dxdy$ 得:

$\tan x > x \Rightarrow I_2 > I_1$

$$
I_1 = 2\iint\limits_{D_1} (2x^2+2y^2) d\sigma,
I_3 = 2\iint\limits_{D_1} (x^2+y^2+2xy) d\sigma \lt
2\iint\limits_{D_1} (x^2+y^2+x^2+y^2) d\sigma
$$

故 $I_3 \lt I_1 < I_2$