题目

$$
\text{计算积分：} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}d\theta\int_0^{2\sin\theta} [\sin\theta + \cos\theta\sqrt{1+r^2\sin^2\theta}]r^2dr
$$

解答

直接积不好积，考虑 极直互化

二重积分 一般考只考两个知识点：

  1. 极直互化
  2. 交换积分次序

不会让你上来直接做两次积分就能求出来的，这也是 命题人 的 套路

求出积分域，$r = 2\sin\theta \Rightarrow r^2 = 2r\sin\theta \Rightarrow x^2 + y^2 = 2y \Rightarrow x^2 + (y-1)^2 = 1$

是 一个圆，在 $y=x, y = -x$ 的 上方区域，因此具有天然 对称性：关于 $y$ 轴对称

所以，被积函数 有一部分可以直接等于 $0$

$$
\begin{aligned}
\text{原式} \quad
= &\quad
\iint\limits_D(y + x\sqrt{1+y^2}) d\sigma
\\
= &\quad
\iint\limits_Dy d\sigma
\\
= &\quad
2\int_0^1dx\int_x^{1 + \sqrt{1-x^2}} ydy
\\
= &\quad
2\int_0^1 (1-x^2+2\sqrt{1-x^2}) dx
\\
= &\quad
2 \cdot (1 - \frac{1}{3} + \frac{\pi}{4})
\\
= &\quad
\frac{4}{3} + \frac{\pi}{2}
\\
\end{aligned}
$$