题目

$$
\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{2}-1}{\sqrt[n]{2n+1}} \cdot \sum_{i=1}^n\int_1^{\frac{2i-1}{2n}}e^{-y^2}dy
$$

解答

这题我问了一下我数学 $150$ 的同学，他给我分析的明明白白的，接下来我来洗稿（不是）

和式极限 无外乎两种做法：

  1. 定积分定义
  2. 夹逼准则

本题的 和式 过于复杂，放缩 不好掌握尺度，故考虑 凑定积分定义

本题是把 区间 $[0,1]$ 拆分成 $n$ 个 子区间，每个 子区间 范围为 $[\dfrac{i-1}{n}, \dfrac{i}{n}]\quad i = 1,2,…,n$

一般的 定积分定义 我们在每个 子区间 进行 估计 的时候，都是用的 右端点 $\dfrac{i}{n}$

但实际上， 定积分定义 中的 估计点 可以是该 子区间 中的 任意一点，比如本题用的 中点 $\dfrac{2i-1}{2n}$

这就是 本题 的 唯一考点 了，考察学生对于 定积分定义 的了解，如果只是 背模板 取 右端点 就会 死的很惨

$$
\begin{aligned}
&\quad
\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{2}-1}{\sqrt[n]{2n+1}} \cdot \sum_{i=1}^n\int_1^{\frac{2i-1}{2n}}e^{-y^2}dy \\
=&\quad
\lim_{n\to\infty} \frac{e^{\frac{\ln 2}{n}}-1}{(1+2n)^{\frac{1}{n}}} \cdot \sum_{i=1}^n\int_1^{\frac{2i-1}{2n}}e^{-y^2}dy \\
=&\quad
\ln 2 \cdot \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^n\int_1^{\frac{2i-1}{2n}}e^{-y^2}dy \\
=& \quad
\ln 2 \cdot \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \cdot f(\frac{2i-1}{2n}) \\
=&\quad -
\ln 2 \cdot \int_0^1dx\int_x^1e^{-y^2} dx \\
=& \quad -
\ln 2 \cdot \int_0^1dy\int_0^ye^{-y^2} dx \\
=&\quad \frac{\ln 2}{2} \cdot \int_0^1e^{-y^2} d(-y^2) \\
=& \quad \frac{\ln 2}{2}\cdot e^{-y^2}\bigg|_0^1 \\
=& \quad \frac{\ln 2(1-e)}{2e}
\end{aligned}
$$