第327题 | 知识点：二重积分训练 (一)

题目

求二重积分：

$$
\int_0^{\frac{\pi}{4}}d\theta\int_0^{\frac{1}{\cos \theta}} \rho^2d\rho +
\int_1^{\sqrt{2}}dx\int_0^{\sqrt{2-x^2}}\sqrt{x^2 + y^2}dy
$$

解答

一般来说，求一个 二重积分 的 和，是 出题人 有意的 拆分了积分区域

拆开后，通过 极直互化 或 交换积分次序 变成两个完全不一样的 积分

出题人不会让你一道二重积分题，算两个二重积分然后再加起来的 （如果是的话，明天我就去命题组）

本题是 极坐标二重积分 + 直角坐标二重积分，经过初步观察，考虑 直角坐标 转 极坐标

通过简单的 积分区域绘制 （电脑不太好画就不画了），是一个 四分之一圆，如我们先前 预判 的一样

$$
\begin{aligned}
\text{原式}
&=
\int_0^{\frac{\pi}{4}}d\theta\int_0^{\frac{1}{\cos \theta}} \rho^2d\rho +
\int_1^{\sqrt{2}}dx\int_0^{\sqrt{2-x^2}}\sqrt{x^2 + y^2}dy
\\
&=
\int_0^{\frac{\pi}{4}}d\theta\int_0^{\frac{1}{\cos \theta}} \rho^2d\rho +
\int_0^{\frac{\pi}{4}}d\theta\int_{\frac{1}{\cos \theta}}^{\sqrt{2}} \rho^2d\rho
\\
&=
\int_0^{\frac{\pi}{4}}d\theta\int_0^{\sqrt{2}} \rho^2d\rho
\\
&=
\frac{\pi}{4} \cdot \frac{2^{\frac{3}{2}}}{3}
\\
&=
\frac{\sqrt{2}}{6} \pi
\end{aligned}
$$