题目

$$
累次积分 \int_0^{\frac{\pi}{4}}d\theta \int_0^{2\cos\theta} f(r\cos\theta,r\sin\theta)r dr 等于
$$

$$
\begin{aligned}
&(A) \int_0^1dy\int_y^{1-\sqrt{1-y^2}} f(x,y)dx \quad
(B) \int_0^2dx\int_0^{\sqrt{2x-x^2}} f(x,y)dy \\
&(C) \int_0^2dr\int_0^{\frac{\pi}{4}} f(r\cos\theta,r\sin\theta)d\theta \\
&(D) \int_0^{\sqrt{2}}dr\int_0^{\frac{\pi}{4}} f(r\cos\theta,r\sin\theta)r d\theta +
\int_{\sqrt{2}}^2dr\int_0^{\arccos \frac{r}{2}} f(r\cos\theta,r\sin\theta)r d\theta\\
\end{aligned}
$$

解答

（A）（B） 选项是 直角坐标，（C）（D） 选项都是 极坐标

故考虑对该积分区域进行 坐标变化 和 交换积分次序 来比较 4 个选项

由 $r$ 的积分上限计算可得：$r = 2\cos \theta \Rightarrow r\cos\theta = 2\cos^2\theta \Rightarrow x = 2\cos^2\theta = 1+\cos 2\theta$

，同理 $y = \sin 2\theta$，故积分区域是部分圆：$(x-1)^2 + y^2 = 1$

换元成 直角坐标：（后积先定限，限内画条线，先交写下限，后交写上限）

$$
\begin{aligned}
&
\int_0^1 dx \int_0^{y} f(x,y) dy +
\int_1^2 dx \int_0^{\sqrt{2x - x^2}} f(x,y) dy
\\
&
\int_0^1 dy \int_y^{1+\sqrt{1-y^2}} f(x,y) dx
\end{aligned}
$$

极坐标交换积分次序：（直接把 $\theta$ 当作 $x$，$r$ 当作 $y$ 会变得很简单）

画出 $\theta, r$ 得 积分区域 后，发现是一个 曲边梯形，故 分开积分

$$
\int_0^{\sqrt{2}} dr \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(r\cos\theta,r\sin\theta)r d\theta +
\int_{\sqrt{2}}^2 dr \int_0^{\arccos\frac{r}{2}} f(r\cos\theta,r\sin\theta)r d\theta
$$

故正确答案为 $D$