题目

设函数 $z = z(x,y)$ 的微分 $dz = (2x + 12y) dx + (12x + 4y)dy$ 且 $z(0,0) = 0$

求函数 $z = z(x,y)$ 在 $4x^2 + y^2 \le 25$ 上的最大值

解法（官方题解-拉格朗日乘数法）

这里没有使用 偏积分，而是用的 凑微分 法：

$$
dz = 2xdx + 12ydx + 12xdy + 4ydy = d(x^2) + d(12xy) + d(2y^2) = d(x^2 + 12xy + 2y^2)
$$

$$
z = x^2 + 12xy + 2y^2 + C
$$

代入 $(0,0)$ 可得：$z(0,0) = C = 0$，求得 $z = x^2 + 12xy + 2y^2$

武佬用的 拉格朗日乘数法：

令 $F(x,y,\lambda) = x^2 + 12xy + 2y^2 + \lambda(4x^2 + y^2 - 25)$

$$
\text{令}
\begin{cases}
F_x = 2x + 12y + 8\lambda x = 0 \\
F_y = 12x + 4y + 2\lambda y = 0 \\
F_\lambda = 4x^2 + y^2 -25 = 0
\end{cases}
$$

我们想要解出的是 椭圆上边界的点，故 $x\ne 0, y\ne 0$

根据 线性代数 方程组的知识可知，我们想要求的是 齐次方程组 $\begin{cases}
(1 + 4\lambda)x + 6y = 0 \\
6x + (2y + \lambda) y = 0
\end{cases}$ 的非零解

故该方程组的 系数矩阵行列式为零 $\begin{vmatrix}
1 + 4\lambda & 6 \\ 6 & 2y + \lambda
\end{vmatrix} = 0 \Rightarrow \lambda = 2 \text{ 或 } -\dfrac{17}{4}$

解得：
$\lambda=2$ 时，$x = 2, y = -3 \quad or \quad x = -2, y = 3$，此时 $z = -50$

$\lambda=-\dfrac{17}{4}$ 时，$x = \dfrac{3}{2}, y = 4 \quad or \quad x = -\dfrac{3}{2}, y = -4$，此时 $z = \dfrac{425}{4}$

解答一（不等式放缩找上界最小值）

全微分： $dz = \dfrac{\partial z}{\partial x} dx + \dfrac{\partial z}{\partial y} dy$，由 一阶微分形式不变性：$
\begin{cases}
\dfrac{\partial z}{\partial x} = 2x + 12y \\
\dfrac{\partial z}{\partial y} = 12x + 4y
\end{cases}$

利用求 偏积分 来解出函数表达式：$\dfrac{\partial z}{\partial x} = 2x + 12y ~ \Rightarrow ~ z = x^2 + 12xy + \varphi(y)$

再求偏导然后联立方程二：$\dfrac{\partial z}{\partial y} = 12x + \varphi’(y) = 12x + 4y \Rightarrow \varphi’(y) = 4y \Rightarrow \varphi(y) = 2y^2 + C$

由于 $z(0,0) = 0$，故 $C = 0 \Rightarrow z = x^2 + 12xy + 2y^2$

求 目标函数：$z = x^2 + 12xy + 2y^2$ 在 限制条件：$4x^2 + y^2 \le 25$ 上的 最大值

普遍性方法 是 拉格朗日数乘法，但这题很显然，可以用 不等式放缩 来做，避免求 拉格朗日乘子 的 复杂计算

加减法放缩乘除法 -> 基本不等式、加减法放缩加减法 -> 柯西不等式，本题显然是用 基本不等式 来求解

我们要求的是 目标函数的最大值，等价于求 上界约束的最小值

由 基本不等式 变形：$xy \le \dfrac{64x^2 + 9y^2}{48}$，可以推得：

$$
12xy \le \dfrac{64x^2 + 9y^2}{4} \Rightarrow z = x^2 + 12xy + 2y^2 \le \dfrac{17}{4} \cdot (4x^2 + y^2) \le \frac{425}{4}
$$

故 最大值 为：$\dfrac{425}{4}$

解答二（三角换元找函数的最大值）

求 目标函数：$z = x^2 + 12xy + 2y^2$ 在 限制条件：$4x^2 + y^2 \le 25$ 上的 最大值

看见 平方项相加，想到我们熟悉的 三角换元法：令 $\begin{cases}
2x &= r \cos \theta \\
y &= r \sin \theta
\end{cases} \quad r\in[0,5], \theta\in[0,2\pi]$，原题化为：

问题变为：求 目标函数：$z = \dfrac{1}{4}r^2\cos^2 \theta + 3r^2 \sin2 \theta + 2r^2 \sin^2 \theta $ 在 限制条件：$r\in[0,5], \theta\in[0,2\pi]$ 上的 最大值

$$
\begin{aligned}
z &= r^2 \cdot \bigg({\frac{\cos^2\theta + 12\sin2\theta + 8\sin^2\theta}{4}}\bigg) =
r^2 \cdot \bigg({\frac{1 + 12\sin2\theta + 7\sin^2\theta}{4}}\bigg) \\
&=
r^2 \cdot \bigg({\frac{1 + 12\sin2\theta + \dfrac{7}{2} \cdot (1 - \cos2\theta)}{4}}\bigg)
\\
&=
r^2 \cdot \bigg({\frac{9 + 24\sin2\theta - 7\cos2\theta)}{8}}\bigg)
\\
&=
r^2 \cdot \bigg({\frac{9 + 25 \sin (2\theta + \varphi)}{8}}\bigg)
\\
&=
\frac{9}{8}r^2 + \frac{25}{8} r^2 \sin(2\theta + \varphi)
\end{aligned}
$$

故 $z \in [-50, \dfrac{425}{4}] \Rightarrow \max\bigg({z(r,\theta)}\bigg) = \dfrac{425}{4}$