第284题 | 知识点：函数根的训练

题目

（2019年3）已知方程 $x^5-5x+k=0$ 有三个不同的实根，则 $k$ 的取值范围是

（A）$(-\infty,-4)$

（B）$(4,+\infty)$

（C）$[-4,4]$

（D）$(-4,4)$

解答

令 $F(x) = 5x - x^5$，这样原问题就变成求曲线 $F(x)$ 与 直线 $y = k$ 的交点个数问题

则 $F’(x) = 5 - 5x^4 \xlongequal{\text{令}} 0$，解出 单减区间 $(-\infty,-1)$ 和 $(1,\infty)$ ；单增区间 $(-1,1)$

而 $F(-1) = -4$，$F(1) = 4$，$F(-\infty) = +\infty$，$F(+\infty) = -\infty$

故通过初步绘制图像观察可得结论：

函数 $F(x)$ 与 $y=k$ 有三个交点，当且仅当 $k\in(-4, 4)$ 时

（如果取的是闭区间，则交点个数会变成两个，与题意不符）

综上选 D