第282题 | 知识点：函数的凹凸向以及渐近线训练（三）

题目

求曲线 $y=e^{\frac{1}{x}}\sqrt{1+x^2}$ 的渐近线所围区域的面积

解答

$\lim\limits_{x\to0^+}e^{\frac{1}{x}}\sqrt{1+x^2} = +\infty$ 故 $x=0$ 为 铅锤渐近线

$\lim\limits_{x\to\infty}e^{\frac{1}{x}}\sqrt{1+x^2} = +\infty$ 无水平渐近线

求斜渐近线，可以考虑把 $y$ 在 $x\to\infty$ 的一个 广义点处泰勒展开 了

$$
y=e^{\frac{1}{x}}\sqrt{1+x^2}=|x|e^{\frac{1}{x}}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} = |x|(1+\frac{1}{2x^2}+o(\frac{1}{x^2}))(1+\frac{1}{x}+o(\frac{1}{x})) = |x|(1+\frac{1}{x}+o(\frac{1}{x}))
$$

当 $x\to+\infty$ 时：$y = x + 1 + o(1) \Rightarrow \text{渐近线：} y = x + 1$

当 $x\to-\infty$ 时：$y = -x - 1 + o(1) \Rightarrow \text{渐近线：} y = -x - 1$

故有 斜渐近线 $y = \pm x \pm1$

将三条渐近线围起来，计算一个三角形的面积即可

$S = \dfrac{2 \times 1}{2} = 1$