第280题 | 知识点：函数的凹凸向以及渐近线训练

题目

已知 $f(x)=\dfrac{x|x|}{1+x}$，求 $f(x)$ 凹凸区间 及 渐近线

解答

首先写出 函数 的分段 $f(x)=\begin{cases}
\dfrac{x^2}{1+x} & x \ge 0\\
\dfrac{-x^2}{1+x} & x \lt 0
\end{cases}$

写出 一阶导数 的分段 $f’(x)=\begin{cases}
\dfrac{x^2+2x}{(1+x)^2} & x \gt 0\\
\dfrac{-x^2-2x}{(1+x)^2} & x \lt 0
\end{cases}$

写出 二阶导数 的分段 $f’’(x)=\begin{cases}
\dfrac{2}{(1+x)^3} & x \gt 0\\
\dfrac{-2}{(1+x)^3} & x \lt 0
\end{cases}$

简单观察发现：$x > 0$ 时，$f’’(x) > 0$；$-1 < x < 0$ 时，$f’’(x) < 0$；$x < -1$ 时，$f’’(x) > 0$

故 凹区间 为 $(-\infty,-1)$ 和 $(0,+\infty)$ ；凸区间 为 $(-1, 0)$

研究 渐近线 就是研究 无定义点、分段点、广义无定义点（无穷大） 处函数值的大小

无定义点 $x=-1$：$\lim\limits_{x\to-1}f(x) = \infty$ 故 $x=-1$ 为铅锤渐近线

分段点 $x=0$：$\lim\limits_{x\to0}f(x)=0$ 故该点不是渐近线，而且还连续

无穷大 $x\to+\infty$：$\lim\limits_{x\to\infty}f(x) = \infty$ 故没有水平渐近线

研究 斜渐近线
$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x} = 1$, $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x) - x = -1$ 故有 斜渐近线 $y=x-1$

$\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x} = -1$, $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x) + x = 1$ 故有 斜渐近线 $y=-x+1$

综上所属，渐近线为 $y=x-1,y=-x+1,x=-1$