题目

设 $f(x)$ 有二阶连续导数，且 $f’(0)=0,~\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f’’(x)+f(x)-f(-x)}{|x|} = 1$，则

(A) $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极大值

(B) $f’’(0)>0, f(0)$ 是 $f(x)$ 的极小值

(C) $(0,f(0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点

(D) $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极值，$(0,f(0))$ 不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点

解答

条件一给的是 一阶导数值 为 $0$，但条件二里只有 二阶导数 和 零阶导数

那么要么是 降阶 要么是 升阶 两条路可以走

这里我采用 拉格朗日 来拉出 一阶

$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f’’(x)+f(x)-f(-x)}{|x|} =
\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f’’(x)+f’(\xi)\cdot 2x}{|x|} =
\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f’’(x)}{|x|} = 1
$

整理一下该式子可以得出的结论：$f’’(0) = 0, f’’(0\pm) > 0, x=0\text{为极小值点}$

故错误的有（A）、（B）、（C），排除法正确的为 (D)

关于（D）极值我们已经分析出了，他明显不是拐点：

根据 判别拐点的第一充分条件，$f’’(x)$ 在 $x\to0$ 的 左右邻域没变号，故不是拐点