题目

函数 $f(x)=(x+1)|x^2-1|$ ，求驻点和 极值点 的个数

解答

多项式函数求驻点 极值点 个数问题

首先写出函数的分段：$\begin{cases}
(x+1)^2(x-1) &|x|\ge1\\
(x+1)^2(1-x) &|x|<1
\end{cases}$

写出导函数的分段：$\begin{cases}
(3x-1)(x+1) &|x|\gt1\\
-(3x-1)(x+1) &|x|<1
\end{cases}$

区间内的驻点有：$x = \dfrac{1}{3}$

分段点的导数可以用定义去求，但有一个更快的结论：$f(x)|x-a|$ 在 $x=a$ 可导 $\Leftrightarrow$ $f(a)=0$

故可知 分段点 处 导数不存在 的点有 $x=1$，导数存在的点 有 $x=-1$

综上，驻点为 $x=1,\dfrac{1}{3}$

找 极值点，就是找驻点或 导数不存在 的点，即 $x=\pm1,\dfrac{1}{3}$

这里我们可以直接从 极值的定义 出发来判断

$x\to1$ 时，$f(x)>0$，故 $x=1$ 为极值点

$x\to-1^+$ 时，$f(x)>0$，$x\to-1^-$ 时，$f(x)<0$ 故 $x=-1$ 不是极值点

$x\to\dfrac{1}{3}^+$ 时，$f’(x)<0$，$x\to\dfrac{1}{3}^-$ 时，$f’(x)> 0$，故 $x=1$ 为极值点

综上所述：2 个驻点，2 个极值点