题目

设函数 $f(x) = \displaystyle\int_{-1}^xt\ln|t|dt$，求 $x=0$ 处 $f(x)$ 是否有 极值点 、可导性

解答

被积函数在 $x=0$ 处不连续，则变上限积分可能在这一点不可导，故只需研究在这一点的可导性即可

利用导数定义：$f’(0) = \lim\limits_{x\to0} \dfrac{\displaystyle\int_{-1}^xt\ln|t|dt - f(0)}{x} = \lim\limits_{x\to0} x\ln|x| = 0$

故在这一点可导

然后研究极值点，找出一阶导数等于 0 的驻点，或不可导点

有可疑点：$x = 0$，显然在 $x=0$ 不存在二阶导数，不妨用一阶导数左右正负来看

$x\to0^-$ 时：$x\ln(-x) > 0$

$x\to0^+$ 时：$x\ln(-x) < 0$

由极值点的第一充分条件可得：$x=0$ 为极大值点