题目

设函数 $f(x) = \begin{cases}
x|x| &x\le0\\
x\ln x &x>0
\end{cases}$ ，

判断 $x = 0$ 是否为 $f(x)$ 的 极值点 或 不可导点

解答

原式可化为：$\begin{cases}
-x^2 &x\le0\\
x\ln x &x>0
\end{cases}$

研究可导性

用导数定义：

$f_{+}’(0) = \lim\limits_{x\to0^+} \dfrac{x\ln x}{x} = -\infty$ 不存在，故不可导

研究极值点

由于该点一阶导数不存在，故三个判别极值的充分条件都用不了

我们考虑直接从极值的定义出发

$f(x - 0) = -x^2 < 0$

$f(x + 0) = x\ln x < 0$

故 $x=0$ 处 $f(x)$ 取极大值