题目

设 $y = \dfrac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}$:

（1）证明：$(1-x^2)y^{(n+1)} - (2n+1)xy^{(n)} - n^2y^{(n-1)} = 0 (n\ge1)$

（2）求 $y^{(n)}(0)$

解答

已知递推关系式的结论证明，可以考虑数学归纳法

数学归纳法：

验证初值 $n=1$ 时：

对给定的方程连续两次求导：
$$
(1-x^2)y^’’ - (2n+1)xy’ - n^2y = 0
$$

初值成立

假设 $n=k(k\ge1)$ 成立：

对 $n=k$ 的递推式两侧再次求导：

$$
(1-x^2)y^{(k+2)} - \bigg[2(k+1)+1\bigg]xy^{(k+1)} - (k^2+2k+1)y^{(k)} = 0
$$

化简后可得：$(1-x^2)y^{(k+2)} - \bigg[2(k+1)+1\bigg]xy^{(k+1)} - (k+1)^2y^{(k)} = 0$ 得证

令 $x = 0$ 可得：$y^{(n+1)} = n^2y^{(n-1)} (n\ge1)$

获得跨阶的 递推式，因此我们需要分奇偶讨论不同初值下的情况即可 ~~（经典 动态规划）~~

$\begin{cases}
y^{(0)} = 0 \
y^{(2k+2)} = 4k^2 \cdot y^{(2k)} (k\ge0)
\end{cases} \quad\Rightarrow\quad y^{(2k)} = 0$

$\begin{cases}
y^{(1)} = 1 \
y^{(2k+1)} = 4k^2 \cdot y^{(2k-1)} (k\ge 1)
\end{cases} \quad\Rightarrow\quad y^{(2k+1)} = \Big[(2k)!!\Big]^2$

综上可知 $y^{(n)}(0) = \begin{cases}
0 &n = 2k\
\Big[(2k)!!\Big]^2 & n = 2k + 1
\end{cases} \quad \text{其中k=0,1,}\cdots$