第274题 | 知识点：高阶导数求导

题目

设 $f(x) = \dfrac{1}{1+2x+4x^2}$，求 $f^{(100)}(0)$

解答

前置知识，幂差公式(3次)：$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

根据 0x111（273） 题题解中的分析，我们有 泰勒展开 和 求极限 作为手段

求极限 用于 无穷小阶数 $\ge$ 求导阶数 的题目，因此本题毫无疑问是 泰勒展开

那么用哪个常见的幂级数展开呢？我们考虑对函数进行恒等变形

$$
f(x) = \dfrac{1}{1 + 2x + (2x)^2} = \dfrac{1-2x}{(1-2x)(1+2x+(2x)^2)} = \dfrac{1-2x}{1-8x^3}
$$

那么我们的选择毫无疑问就是 等比级数 分别展开 $\dfrac{1}{1-8x^3}$ 和 $\dfrac{-2x}{1-8x^3}$

由 $\dfrac{1}{1-x} = \sum\limits_{n=0}^\infty x^n$ 可知 $\dfrac{1}{1-8x^3} = \sum\limits_{n=0}^\infty (2x)^{3n}$

由于我们只需找出 $x^{100}$ 的项（在 0x111(273) 题中写过原因），再根据 抽象泰勒展开式 我们有如下方程：

$$
\frac{f^{(100)}(0)}{100!} = -2\times 2^{99} \quad\Rightarrow\quad f^{(100)}(0) = -2^{100} 100!
$$