题目

已知函数 $f(x) = x^2\ln(1-x)$，当 $n\ge3$ 时，求 $f^{(n)}(0)$

解答

$$
高阶导数题型
\begin{cases}
求f^{(n)}(x) \begin{cases}
求几阶然后找规律\\
莱布尼茨公式\
\end{cases}\\
求f^{(n)}(x_0) \begin{cases}
泰勒展开 \\
求极限
\end{cases}
\end{cases}
$$

我这里写成 无穷级数 的形式，方便观察 （被研友勒令）

$$
\ln(1-x) = \sum_{n=1}^{\infty} -\frac{1}{n}x^n \
x^2\ln(1-x) = \sum_{n=1}^{\infty} -\frac{1}{n}x^{n+2}
$$

我们都知道，幂函数的多项式，求 $n$ 阶导后，代入 $x=0$ 后，只会保留 $x^n$ 的系数：

  1. 次数小于 $n$ 的，求 $n$ 阶导后为 $0$
  2. 次数大于 $n$ 的，求 $n$ 阶导后，保留有 $x$，代入 $x=0$ 后，值为 $0$

因此找 $f^{(n)}(0)$ 就等于找 $x^n$ 的项：$-\dfrac{1}{n-2}x^n$

由 抽象泰勒展开式 建立方程：$\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = -\dfrac{1}{n-2}x^n$

综上所述： $f^{(n)}(0) = -\dfrac{n!}{n-2}$