题目

设 $y=y(x)$ 由 $e^y\sin t - y + 1 = 0$ 和 $x = \begin{cases}
\dfrac{e^t-1}{t} & t \ne 0 \\
1 & t = 0
\end{cases}$ 所确定，求 $\dfrac{d^2y}{dx^2}\bigg|_{t=0}$

解答

参数方程 + 隐函数 求 具体某一点的二阶导数值 考虑直接代公式

接下来的问题是求出 $y,x$ 在 $x=0$ 处的 一阶 和 二阶 导数值 即可

对于 $y$ 我们直接用隐函数求导法则，方程两侧连续求导代入即可（过程就不写了，直接上答案）

对于 $x$ 我是 跨阶凑导数定义 ，武老师 是用的 泰勒展开，我这里直接用 吴老师 的方法了

$$
\begin{aligned}
e^x - 1 &= x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 \cdots \\
\dfrac{e^x-1}{x} &= 1 + \dfrac{1}{2!}x + \dfrac{1}{3!}x^2 + \cdots
\end{aligned}
$$

可得 $\begin{cases}
x’(0) = \dfrac{1}{2!} & y’(0) = e \\
x’’(0) = \dfrac{1}{3!} & y’’(0) = 2e^2
\end{cases}$

这个应该都会吧，就是求 $n$ 阶导后：

  1. 小于 $n$ 的项求导没了
  2. 大于 $n$ 的项，代入 $x = 0$ 后为 $0$
  3. 因此只会保留等于 $n$ 的项

最后代入公式即可：$\dfrac{d^2y}{dx^2}\bigg|_{t=0} = 8(e^2-\dfrac{1}{3}e)$