题目

设 $x=x(y)$ 是函数 $y=\ln x + e^x$ 的反函数，求 $\dfrac{d^2x}{dy^2}$

解答

关于 $y$ 求导有：$1 = \dfrac{x’}{x} + x’e^x$，化简可得：$x’ = \dfrac{x}{1+xe^x}$

再求一次导可得：$\dfrac{d^2x}{dy^2} = \dfrac{d^2x}{dx} \cdot \dfrac{dx}{dy} =
\dfrac{x}{1+xe^x} \cdot \dfrac{(1+xe^x) + x(e^x + xe^x)}{(1+xe^x)^2} = \dfrac{x - x^3e^x}{(xe^x + 1)^3}$