题目

设 $\varphi(x)=\begin{cases}
x^3\sin\dfrac{1}{x} &x\ne 0\\
0 &x = 0
\end{cases}$ 函数 $f(x)$ 可导，求$F(x) = f[\varphi(x)]$ 的导数

解答

$x \ne 0$ 时：$F’(x) = f’[\varphi(x)] \cdot \varphi’(x) = f’(x^3\sin\dfrac{1}{x}) \cdot (3x^2\sin\dfrac{1}{x} - x\cos\dfrac{1}{x})$

本题一大 踩分点 时发现 $\varphi(x)$ 在 $x$ 趋于 $0$ 时，会无限取到 $0$，因此不能直接使用 导数定义

$x = 0$ 时：(导数定义分类讨论)

$$
F’(0)=\lim_{x\to 0}\frac{F(x)-F(0)}{x -0} =
\lim_{x\to 0}\frac{f[\varphi(x)]-f(0)}{x}
$$

$x = \dfrac{1}{k\pi} $ 时:$(k\to\infty,k\in \mathbf{Z})$

$$
\lim_{x\to 0}\frac{F(x)-F(0)}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{0}{x} = 0
$$

$x \ne \dfrac{1}{k\pi} $ 时:$(k\to\infty,k\in \mathbf{Z})$

$$
\lim_{x\to 0}\frac{F(x)-F(0)}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{f[\varphi(x)]-f(0)}{\varphi(x)} \cdot \frac{\varphi(x)}{x} = 0
$$

综上 $F’(0) = 0$

本题 武老师 要的是 复合函数链导法：

通过证明 $\varphi(x)$ 在 $x=0$ 处可导，即 $\varphi’(0)$ 存在且$\varphi’(0) = 0$，又 $f’(0)$ 存在，故 $f’(\varphi(0))$ 存在