题目

设 $f(x)=\begin{cases}
x^2&x\ge0,\\
x^4&x<0
\end{cases}\quad
g(x)=\begin{cases}
-\sqrt{x}&x\gt0,\\
x^2&x\le0
\end{cases}$

若 $y=f[g(x)]$，则：

(A) $\dfrac{dy}{dx}\bigg|_{x=1} = 1$

(B) $\dfrac{dy}{dx}\bigg|_{x=1}$ 不存在

(C) $\dfrac{dy}{dx}\bigg|_{x=0} = 0$

(D) $\dfrac{dy}{dx}\bigg|_{x=0}$ 不存在

解答

这是 30讲 第一章的某习题，直接做就完事了，先把复合函数的分段形式写出来：

$y = \begin{cases}
x^4 & x \le 0\\
x^2 & x > 0
\end{cases}$

则 $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2 - 1}{x-1} = 2$ 故 A,B错误 （B上来就可以排错，初等函数在区间内都是连续的）

又 $\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{x^2}{x} = 0 = \lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{x^4}{x} = 0$ 故 C正确，D错误